[算法学习]——通过RMQ与dfs序实现O(1)求LCA（含封装板子）

每周五篇博客：（3/5）

碎碎念

其实不是我想多水一篇博客，本来这篇是欧拉序的博客，结果dfs序也是可以O1求lca的，而且常数更优，结果就变成这样了。。。

前置知识

[算法学习]——dfs序

思想

分类讨论

对于查询的两个节点 $u,v$ ，称两个节点的最近公共祖先为 $lca$ ，首先我们先确保 $df{n}_u\le df{n}_v$ (这里的 $df{n}_u$ 表示 $u$ 的dfs序，也是前置知识中的 $l_u$)，如果 $df{n}_u>df{n}_v$ 的话我们swap一下就可以

如果 $u$ 是 $v$ 的祖先节点的话，那么 $lca$ 一定是 $u$ ，只需要判断下是否满足 $df{n}_u\le df{n}_v$（相当于 $l_u\le l_v$） 并且 $r_u\ge r_v$ 即可

如果 $u$ 不是 $v$ 的祖先节点，并且我们保证了 $df{n}_u\le df{n}_v$ 所以 $u,v$ 一定在不同的子树中，例如

蓝色圈内的节点其实是dfs序处于 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 内的所有节点

这于欧拉序不同的地方在于这个区间内并不包含 $lca$ 节点，但是却包含了 $lca$ 的儿子节点，事实上在dfs序处于区间 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 中至少存在一个 $lca$ 的儿子节点。我们设这个 $lca$ 的儿子节点为 $w$ ，由于 $u,v$ 不在同一子树中，在dfs遍历完 $u$ 子树后会返回到 $lca$ 节点接着去遍历 $u$ 子树之后的其他子树，当遍历到 $v$ 节点所在的子树时，这个子树的顶点便是 $w$ （$v,w$ 有可能是同一个节点），因为遍历 $w$ 在遍历 $v$，所以有 $df{n}_w\le df{n}_v$，那么 $df{n}_w$ 也就处于区间 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 了

而这个 $w$ 一定是区间 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 中深度最小的节点，因为其父亲节点是 $lca$ ，而且区间 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 只会包含 $lca$ 子树内部的节点（不包含 $lca$），所以 $lca$ 的儿子节点就是深度最小的节点

所以我们只需要查询到区间 $[df{n}_u,df{n}_v]$ 最小的节点的父亲，就可以找到 $lca$ 了

关于区间查询，因为是静态查询并不涉及到修改操作，所以我们可以使用RMQ算法来实现 $O(n\log n)$ 的预处理以及 $O(1)$ 的单次查询

而关于维护RMQ的预处理，我们定义 $mi{n}_{j,i}$ 表示dfs序中 $[i,i+2^j]$ 区间内深度最浅的节点的编号，所以初始化有 $mi{n}_{0,i}=i{d}_i$ （这里的 $i{d}_i$ 表示dfs序为 $i$ 所对应的节点的编号），关于维护 $mi{n}_{j,i}$ 数组，我们比较两个区间中深度最浅的节点哪个区间更浅就可以了，这里可以单独写一个比较函数，关于查询和普通的RMQ一样，不过需要配合刚刚的比较函数

代码

例题：P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

int min[21][N];std::vector<int> go[N];
int l[N], r[N], id[N], tot, dep[N], f[N];
void dfs(int u, int fa) {f[u] = fa;l[u] = ++ tot;id[tot] = u;dep[u] = dep[fa] + 1;for (auto v : go[u]) {if (v == fa) continue;dfs(v, u);}r[u] = tot;
}int update(int x, int y) {if (dep[x] < dep[y]) return x;return y;
}void rmq(int n) {for (int i = 1; i <= n; i ++) min[0][i] = id[i];for (int j = 1; j <= std::__lg(n); j ++)for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i ++)min[j][i] = update(min[j - 1][i], min[j - 1][i + (1 << (j - 1))]);
}int lca(int u, int v) {if (l[u] > l[v]) std::swap(u, v);if (l[u] <= l[v] && r[u] >= r[v]) return u;u = l[u], v = l[v];int k = std::__lg(v - u + 1);return f[update(min[k][u], min[k][v - (1 << k) + 1])];
}void solve() {int n, q, root;std::cin >> n >> q >> root;for (int i = 1; i < n; i ++) {int u, v;std::cin >> u >> v;go[u].push_back(v);go[v].push_back(u);}dfs(root, 0);rmq(n);while (q --) {int u, v;std::cin >> u >> v;std::cout << lca(u, v) << "\n";}
}

板子

其实这个板子是我AC后让gpt给我封装的

struct LCA {int n, LOG;std::vector<int> l, r, id, dep, parent, lg;std::vector<std::vector<int>> st;const std::vector<std::vector<int>>& adj;int tot = 0;// 构造函数：传入节点数 n（假设节点编号 1..n）、邻接表 adj、根节点 rootLCA(int _n, const std::vector<std::vector<int>>& _adj, int root): n(_n), adj(_adj){LOG = 32 - __builtin_clz(n);  // ⌊log2(n)⌋ 的上界l.assign(n+1, 0);r.assign(n+1, 0);id.assign(n+1, 0);dep.assign(n+1, 0);parent.assign(n+1, 0);lg.assign(n+2, 0);// 预处理对数for (int i = 2; i <= n; i++)lg[i] = lg[i>>1] + 1;// 1) 建立 dfs 序，记录 l[u], r[u], id[]dfs(root, 0);// 2) 构建 ST 表用于 RMQst.assign(LOG+1, std::vector<int>(n+2));// 第一层直接存序列上的节点编号for (int i = 1; i <= n; i++)st[0][i] = id[i];// 其余层for (int j = 1; j <= LOG; j++) {for (int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= n; i++) {int x = st[j-1][i];int y = st[j-1][i + (1<<(j-1))];// 取深度更小（即在树上更靠近根）的那个st[j][i] = (dep[x] < dep[y] ? x : y);}}}// 返回节点 u 在序列中的位置 l[u], 以及构造 parent, depvoid dfs(int u, int p) {parent[u] = p;dep[u] = dep[p] + 1;l[u] = ++tot;id[tot] = u;for (int v : adj[u]) {if (v == p) continue;dfs(v, u);}r[u] = tot;}// O(1) 查询 LCAint lca(int u, int v) const {// 如果 u 是 v 的祖先，直接返回 u；反之同理if (l[u] <= l[v] && r[u] >= r[v]) return u;if (l[v] <= l[u] && r[v] >= r[u]) return v;// 保证 l[u] < l[v]if (l[u] > l[v]) std::swap(u, v);// 在序列 [l[u]..l[v]] 上做 RMQ，找到深度最小的节点 xint L = l[u], R = l[v];int k = lg[R-L+1];int x1 = st[k][L], x2 = st[k][R - (1<<k) + 1];int x  = (dep[x1] < dep[x2] ? x1 : x2);// 这个 x 一定是 u 到 v 路径上，且最靠近根的那个孩子节点，// 它的 parent 就是 LCAreturn parent[x];}
};

使用方法：

void solve() {int n, q, root;std::cin >> n >> q >> root;std::vector go(n + 1, std::vector<int>());for (int i = 1; i < n; i ++) {int u, v;std::cin >> u >> v;go[u].push_back(v);go[v].push_back(u);}LCA lca(n, go, root);while (q --) {int u, v;std::cin >> u >> v;std::cout << lca.lca(u, v) << "\n";}
}