算法-堆、排序算法、矩阵乘法

满二叉树、完全二叉树

二叉树遵循下面的规律，当前节点i（但是其实就是逐级填充）:

• 左节点为     ix2
• 右节点为     i*2+1
• 父节点为     [i/2] 向下取整

使用数组表示二叉树：

（二叉树的深度自上而下，高度自下而上）（至于高度深度是0，还是1开始只是一个表示不重要）

• 满二叉树（完美二叉树）：深度为h，且节点有2^(h+1)-1。节点数最大。
• 完全二叉树：看上面数组的表示，前两个为完全，最后一个非完全，因为缺失元素了。

判断是不是完全二叉树：

堆

堆是完全二叉树！！
最大堆：父节点要大于或等于后面所有子节点。
最小堆：父节点要小于或等于后面所有子节点。

最大堆的插入、删除

最大堆的插入：

• 60首先插入最后的叶子节点，与父节点比较，比父节点大则交换位置，直到到达正确的位置。
• 时间复杂度就是交换的次数：例子是3次即树深logn。堆插入的时间复杂度O(1)~O(logn)。

最大堆的删除：

• 假如去水果店买苹果，苹果像金字塔一样排列，最好的苹果在金字塔的尖上。那我们最大堆的最大元素在根节点，只能移除根节点即50。移除根元素后不能随意的让30往上顶，这样就不满足完全二叉树。
• 正确做法：将最后的叶子节点挪到根节点，然后子节点相互比较，最大值与父节点比较并交换，直到满足最大堆的条件。堆删除时间复杂度O(logn)。
• 若删除中间元素，首先要遍历找到要删除的元素(n)，跟末尾元素交换并删除，后再调整log(n)。由于二叉堆无顺，查找要消耗O(n)，一般不推荐使用二叉堆进行查找。

堆创建、堆排序

由上堆删除可知：删除所有元素，并将元素放到删除后的空闲位置，就会发现数组已排序。
堆排序的时间复杂度是O(nlogn)、O(n)

优先级队列

数字本身就有优先级：

• 数字大的优先级更高，那就使用最大堆进行分析
• 数字小的优先级更高，那就使用最小堆进行分析（删除和插入）

这将是最好的数据结构，否则需要的可能是O(n)，而现在是O(logn)。

归并排序

合并：两个及以上有序列表合并成一个有序列表的过程。

2-way merge sort

1.例子：有两个有序列表A,B，合成列表C

merge(A,B,m,n){i=1;j=1;k=1;while(i<=n && j<=m){if(A[i]<=B[j]){C[k]=A[i];k++;i++;}else{C[k]=B[j];k++;j++;}}for(;j<=m;j++){C[k]=B[j];k++;}
}

时间复杂度O(m+n)

2.M路合并：多个列表合并。采取的就是两两合并（2-way merge sort），可以任意两个如下：

merge sort

分而治之思想，先拆分后合并

优缺点

优点：

• 适合大列表

• 适合链表（可以在不创建新链表的情况下进行排序）
  

• 外部排序（每次带入一部分元素块进入主内存，主内存就不需要那么大空间）
  

• 稳定（同样的数字保持原来的顺序）

缺点：

• 数组进行排序，需要额外的空间
• 不适合小问题（元素很少，不需要拆分，那么会在递归上浪费时间。借用插入排序来得到结果）
• 递归（会使用内存的堆栈，需要的堆栈空间=树高logn，再加上第一点的额外空间O(n+logn)渐进O(n)）

快速排序

举例

遵循分而治之。
分区位置：某一元素左边的元素都比他小，右边都比他大，那么他就处于排序位置。
分区算法：找到分区位置，i是直到找到比核心更大的，j是直到找到比核心更小的，交换位置。过程如下：

//分区算法
partition(l,h){pivot=A[l];i=l;j=h;while(i<j){do{i++;}while(A[i]<=pivot);do{j--;}while(A[i]>pivot);swap(A[i],A[j]);}swap(A[l],A[j]);return j;
}//快速排序
QuickSort(l,h){if(l<h){j=partition(l,h);QuickSort(l,j-1);QuickSort(j+1,h);}
}

分析时间复杂度

best case-----O(nlogn) 分区后j一直取中间(这种情况很难遇见)
worst case—O(n²)

为了避免最坏情况可以一直选择中间作为核心元素，或随机选择核心元素
快速排序用了递归，占用堆栈空间logn 到 n（树高）

矩阵乘法

1.使用简单方法，三个循环，O(n³)
2.采用分而治之，最小单位就是小于等于2x2的矩阵，直接就用公式不用循环，公式的话是4行，可以说时间常数就是O(4)。
3.不满足的矩阵可以补0成为4x4，8x8等等的矩阵，然后采取分而治之。

mm(A,B,n){if(n<=2){c=4 formulas;}esle{//拆分再合并mid=n/2;mm(A11,B11,mid)+mm(A12,B21,mid);mm(A11,B12,mid)+mm(A12,B22,mid);mm(A21,B11,mid)+mm(A22,B21,mid);mm(A21,B12,mid)+mm(A22,B22,mid);}
}

分治算法的矩阵乘法也是O(n³)，采用了递归还会额外占用堆栈