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《软件设计师》复习笔记（10.1）——算法特性、时间复杂度、递归、分治、动态规划

news 来源：原创 2025/5/1 6:13:53

一、算法的五大特性

二、算法复杂度分析

1. 时间复杂度

2. 常见复杂度示例

三、递归算法

1. 核心要素

2. 时间复杂度分析

真题示例：

算法A时间复杂度求解

算法B与算法A比较

四、分治法

1. 核心思想

2. 典型应用

五、动态规划法（Dynamic Programming, DP）

1. 核心思想

2. 实现步骤

3. 经典问题：0-1背包问题

一、算法的五大特性

有穷性：算法必须在有限步骤内终止，每步执行时间有限。
确定性：指令无歧义，相同输入必得相同输出。
可行性：操作可通过基本运算（如加减乘除）有限次实现。
输入：允许零或多个输入，取自特定集合。
输出：至少一个输出，与输入存在逻辑关联。

二、算法复杂度分析

1. 时间复杂度

定义：用函数 T(n) 表示输入规模 n 与基本操作数的关系。
三种情况：
- 最佳情况（最少操作，如查找元素在首位）。
- 最坏情况（最多操作，如元素不在数组中）。
- 平均情况（期望操作数）。
渐进符号：
- O(n)：上界（最坏情况）。
- Ω(n)：下界（最佳情况）。
- Θ(n)：紧确界（精确复杂度）。

2. 常见复杂度示例

复杂度	示例代码场景
O(1)	高斯求和公式 `sum = (1+n)*n/2`
O(n)	单层循环遍历数组
O(n2)	嵌套循环（如冒泡排序）
O(logn)	循环中变量指数增长（如 `count *= 2`）

三、递归算法

1. 核心要素

递归出口：终止条件（如阶乘中 n=0 返回1）。
递归体：问题分解为更小同类问题（如 n * Factorial(n-1)）。

2. 时间复杂度分析

展开法：将递归式展开为求和式。
示例：

真题示例：

已知算法A的运行时间函数为T(n)=8T(n/2)+n^2，其中n表示问题的规模，则该算法的时间复杂度为（62 ）。另已知算法B的运行时间函数为T(n)=XT(n/4)+n^2，其中n表示问题的规模。对充分大的n，若要算法B比算法A快，则X的最大值为（）。

（62）A. Θ(n) B. Θ(nlgn) C. Θ(n^2)

D. Θ(n^3) A. 15 B. 17 C. 63 D. 65

算法A时间复杂度求解

对于算法A，其运行时间函数为 $T(n)=8T(\frac{n}{2}) + n^2$ ，这里可以使用主定理（Master - Theorem）来求解时间复杂度。主定理的一般形式为：对于 $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$ （a≥1，b>1），比较 f(n) 与 $n^{\log_b a}$ 的关系来确定时间复杂度。

在 T(n)=8T(2n)+n2 中，a=8，b=2，则 $n^{\log_b a}=n^{\log_2 8}=n^3$ ， $f(n)=n^2$ 。
因为 $f(n)=O(n^{\log_2 8 - \epsilon})$ （ϵ>0 ，这里 ϵ=1 ， $n^2=O(n^{3 - 1})$ ），所以 T(n)=Θ(n3) 。

算法B与算法A比较

对于算法B，其运行时间函数为 $T(n)=XT(\frac{n}{4})+n^2$ ，同样使用主定理，这里 a=X ，b=4 ，则 $n^{\log_b a}=n^{\log_4 X}$ ， $f(n)=n^2$ 。要使算法B比算法A快，即算法B的时间复杂度要小于算法A的时间复杂度 Θ(n3) 。根据主定理，当 $f(n)=O(n^{\log_4 X-\epsilon})$ 时， $T(n)=\Theta(n^{\log_4 X})$ ，为了使 T(n)<Θ(n3) ，则需要 $\log_4 X<3$ 。根据对数的性质，将其转化为指数形式， $X < 4^3$ ，即 X<64 ，所以 X 的最大值为 63 。

解析：T(n)公式中本就有n²，而且还是一个递推公式，递归公式中也有n/2，可知实际有n³个数量级；算法B比A快，可令XT(n/4)+n²<8T(n/2)+n²，推导出X<8T(n/2)/T(n/4)，将括号内分母取出，因为是n³级别，取出后上述公式可转化为X<8*(1/2)³T(n)/(1/4)³T(n)，进一步简化消除可得X<1/(1/64)，即X<64，X最大值为63。

四、分治法

1. 核心思想

三步流程：
1. 分解：将问题划分为独立子问题（如归并排序中将数组二分）。
2. 求解：递归解决子问题（子数组排序）。
3. 合并：合并子问题的解（合并有序子数组）。

2. 典型应用

归并排序、快速排序、二分查找。

五、动态规划法（Dynamic Programming, DP）

1. 核心思想

与分治法的区别：
- 分治法：子问题独立，无重叠，递归求解（如归并排序）。
- 动态规划：子问题存在重叠，需存储中间结果（填表法）避免重复计算。
适用条件：
- 最优子结构：全局最优解包含局部最优解（如背包问题的最优解由子问题最优解构成）。
- 重叠子问题：子问题被多次重复计算（如斐波那契数列）。

2. 实现步骤

定义最优解的结构：明确问题如何分解为子问题（如背包问题的物品选择策略）。
递归或迭代计算最优值：
- 自顶向下：带备忘录的递归（记忆化搜索）。
- 自底向上：填表法（如二维数组递推）。
构造最优解：根据计算结果回溯路径（如背包问题中哪些物品被选中）。

3. 经典问题：0-1背包问题

有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，其中vi和wi均为非负数，背包的容量为W，W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。

满足约束条件的任一集合(x1, x2, …, xn)是问题的一个可行解，问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例，假设n = 5，W = 17，每个物品的价值和重量如表所示，可将物品1、2和5装入背包，背包未满，获得价值22，此时问题解为(1, 1, 0, 0, 1)；也可以将物品4和5装入背包，背包装满，获得价值24，此时解为(0, 0, 0, 1, 1)。

>物品编号 >1 >2 >3 >4 >5
价值v 4 5 10 11 13
重量w 3 4 7 8 9

>物品编号	>1	>2	>3	>4	>5
价值v	4	5	10	11	13
重量w	3	4	7	8	9

(1) 刻画0 - 1背包问题的最优解的结构。可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n，即xn = 1，那么其余x1，x2，…，xn - 1一定构成子问题1, 2, …, n - 1在容量为W - wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n，即xn = 0，那么其余x1，x2，…，xn - 1一定构成子问题1, 2, …, n - 1在容量为W时的最优解。

(2) 递归定义最优解的值。根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i, w]表示背包容量为w时i个物品导致的最优解的总价值，得到下式。显然，问题要求c[n, W]。

基本情况（Base Case）：

当物品数量 i=0（没有物品可选）或背包容量 w=0（无法装任何物品）时，最大价值 $c[i, w] = 0$
当前物品太重，无法装入背包：
如果当前物品 i 的重量 wi>w（超过剩余容量），则不能选它，最优解等于前 i−1 个物品在容量 w 下的最优解：
当前物品可以装入背包：
如果 wi≤w，则需要决策是否选择物品 i：
选：价值增加 vi，剩余容量减少 wi，即 $c[i - 1, w - w_i] + v_i$
不选：保持前 i−1 个物品的解，即 $c[i - 1, w]$
取两者中的最大值：