数据结构：实验7.3Huffman树与Huffman编码

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一、实验目的

深入理解Huffman树和Huffman编码的原理，熟练掌握其构造算法。通过设计Huffman树的数据存储结构，实现对给定字符频率构造Huffman树及生成Huffman编码的过程，提升对数据压缩等实际问题的解决能力，培养算法设计、调试和分析的综合素养。

二、实验描述

已知某系统在通信联络中只可能出现6种字符，其使用频率如下表所示：

a	b	c	d	e	f
0.07	0.09	0.12	0.22	0.23	0.27

根据Huffman编码原理，为这6种字符设计一种Huffman编码方案。具体步骤包括：依据给定字符的权值，按照Huffman算法构造Huffman树，再基于该树生成每个字符对应的Huffman编码。

三、基本要求

1. 设计Huffman树的数据存储结构：采用结构体数组来存储Huffman树的节点信息。每个结构体包含节点的值、权重、父结点索引、左孩子索引和右孩子索引等成员。例如：

typedef struct {float weight;int parent, lchild, rchild;
} HTNode, *HuffmanTree;

这样的结构可以方便地记录Huffman树节点之间的关系和相关属性，为后续的树构造和编码生成提供基础。
2. 理解并掌握构造Huffman树、求Huffman编码原理及算法：
- 构造Huffman树：严格按照Huffman算法步骤，从给定的字符权值出发，不断选取权值最小的两棵子树合并成新树，直至集合中只剩一棵树。在此过程中，深入理解每次合并操作对树结构和权值分布的影响。
- 求Huffman编码：在得到Huffman树后，从每个叶子节点出发，向根节点回溯，根据经过的分支方向（左分支记为’0’，右分支记为’1’）生成对应的编码。理解这种编码方式如何保证编码的前缀特性，即任意一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀，从而实现高效的数据压缩和解码。
3. 完善参考程序，在程序中的下划线处填入适当语句：仔细研读参考程序，明确每个下划线处的功能需求。依据Huffman树的构造和编码生成算法逻辑，准确填入相应语句，确保程序能够正确实现从字符权值到Huffman树构建，再到编码生成的完整过程。可能涉及节点的初始化、权值比较、树的合并、编码回溯等操作的代码补充。
4. 设计测试数据，上机调试、测试完善后的参考程序，保存并打印测试结果，对算法性能进行分析：
- 设计测试数据：除了给定的6种字符及其频率数据外，额外设计多组不同规模和权值分布的测试数据，包括字符种类较少、较多，权值分布均匀、不均匀等情况，以全面测试程序的正确性和鲁棒性。
- 上机调试、测试：在集成开发环境中输入完善后的程序，运用断点调试、输出中间变量值等手段，排查程序中的语法错误和逻辑错误。针对不同测试数据运行程序，观察输出结果是否符合预期。
- 保存并打印测试结果：将每次测试的输入数据、程序输出的Huffman编码结果等信息保存下来，并打印输出，以便后续分析。
- 算法性能分析：从时间复杂度和空间复杂度两方面分析算法性能。时间复杂度主要取决于Huffman树的构造过程，涉及多次权值比较和树的合并操作，为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 为字符种类数；空间复杂度取决于存储Huffman树节点的结构体数组大小，为 $O(2n-1)$ 。结合测试结果，分析算法在不同规模数据下的运行效率和存储开销，探讨优化方向。

四、算法分析

1. Huffman算法：
   • 时间复杂度：在构造Huffman树时，每次都需要从集合中选取权值最小的两棵树，若使用优先队列（如堆）来管理树的集合，每次选取和合并操作的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，总共需要进行 $n-1$ 次合并操作，所以构造Huffman树的时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。
   • 空间复杂度：需要使用结构体数组存储Huffman树的节点，节点数为 $2n-1$ ，所以空间复杂度为 $O(2n-1)$ 。
2. 求Huffman编码算法：
   • 时间复杂度：对于每个叶子节点，都需要从叶子向根回溯生成编码，回溯路径长度最大为树的高度，即 $O(\log n)$ ，共有 $n$ 个叶子节点，所以求Huffman编码的时间复杂度为 $O(n\log n)$ 。
   • 空间复杂度：除了存储Huffman树的空间外，还需要额外空间存储每个字符的编码，编码长度与树的高度相关，总体空间复杂度仍为 $O(2n-1)$ （考虑到编码存储开销相对树节点存储可忽略不计，主要空间占用仍在树节点存储）。

五，示例代码

#include <stdio.h>
#define MAX 21
typedef struct {  // 定义Huffman树结点结构char data;          // 结点值int weight;         // 权重int parent;         // 父结点int lchild;         // 左孩子int rchild;         // 右孩子
} HTNode;
typedef struct {  // 定义Huffman编码结构char cd[MAX];int start;
} HCode;void CreatHT(HTNode *HT, int n) {int i, k, lnode, rnode;int m1, m2;for (i = 1; i < 2 * n; i++)HT[i].parent = HT[i].lchild = HT[i].rchild = 0;  // 初始化for (i = n + 1; i < 2 * n; i++) {  // 构造Huffman树m1 = m2 = 0x7fff;  // m1取最小权重，m2取次小权重lnode = rnode = 0;  // lnode, rnode分别取两个最小权重的结点位置for (k = 1; k < i; k++) {if (HT[k].parent == 0) {if (HT[k].weight < m1) {m2 = m1;rnode = lnode;m1 = HT[k].weight;lnode = k;} else if (HT[k].weight < m2) {m2 = HT[k].weight;rnode = k;}}}HT[lnode].parent = i;HT[rnode].parent = i;HT[i].weight = m1 + m2;HT[i].lchild = lnode;HT[i].rchild = rnode;}
}void CreatHCode(HTNode *HT, HCode *hcd, int n) {int i, f, c;HCode hc;for (i = 1; i <= n; i++) {hc.start = n;c = i;f = HT[i].parent;while (f != 0) {if (HT[f].lchild == c)  // c是f的左孩子，编码取'0'，否则取'1'hc.cd[--hc.start] = '0';elsehc.cd[--hc.start] = '1';c = f;  // 向根结点方向搜索f = HT[f].parent;}hcd[i] = hc;}
}void PrintHCode(HTNode *HT, HCode *hcd, int n) {int i, k;for (i = 1; i <= n; i++) {printf("  %c：", HT[i].data);for (k = hcd[i].start; k < n; k++)printf("%c", hcd[i].cd[k]);printf("\n");}
}int main() {int i, n;HTNode HT[2 * MAX - 1];HCode hcd[MAX];printf("(1)创建Huffman树......\n");do {printf("  请输入元素个数(1-%d)：", MAX - 1);scanf("%d", &n);} while (n < 1 || n > MAX - 1);  // 确保n值合规for (i = 1; i <= n; i++) {  // Huffman树结点存放在ht数组从1下标开始的位置fflush(stdin);printf("  第%d个元素的结点值==>", i);scanf("%c", &HT[i].data);printf("\t权重==>");scanf("%d", &HT[i].weight);}CreatHT(HT, n);printf("  Huffman树创建成功！\n");fflush(stdin);getchar();printf("(2)创建Huffman编码......\n");CreatHCode(HT, hcd, n);printf("  Huffman编码创建成功！\n");getchar();printf("(3)输出Huffman编码：\n");PrintHCode(HT, hcd, n);return 0;
}    

六，实验操作

1，双击Visual Studio程序快捷图标，启动程序。

2，之前创建过项目的话，直接打开即可，这里选择【创建新项目】。

3，单击选择【空项目】——单击【下一步】按钮。

4，编辑好项目的名称和存放路径，然后单击【创建】按钮。

5，创建C++程序文件，右击【源文件】——选择【添加】——【新建项】。

6，输入项目名称，单击【添加】按钮。

7，编写代码，单击运行按钮，运行程序。

七，运行结果

1，实验要求的结果。

2，编写代码运行后的结果。