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算法设计：回溯法的基础原理与应用

news 来源：原创 2025/4/30 7:12:00

一、基本概念

二、适用问题

三、基本步骤

四、算法模式

递归回溯算法模式（求一个解）

非递归回溯算法模式（求一个解）

非递归回溯算法模式（求所有解）

五、经典应用

1数字组合问题

2数字排列问题

3 着色问题

8 皇后问题

PARTITION 问题

0 - 1 背包问题

六、时间复杂度

七、总结

一、基本概念

回溯法作为一种重要的算法设计策略，在处理组合与排列等复杂问题上展现出独特的优势。其核心在于采用深度优先搜索（DFS）的方式，构建状态空间树，对所有潜在的解进行系统性探索。在这一过程中，通过精心设计的剪枝函数，回溯法能够敏锐地识别并避开那些注定无法产生有效解的搜索路径，极大地提升了算法的执行效率，避免了在庞大解空间中进行盲目搜索。

二、适用问题

回溯法适用于那些可清晰界定为特定状态空间 E 的问题类型。这类问题通常存在一套约束集 D，目标是从中找出所有满足 D 条件的 n 元组。元组中的每个元素均来自有限集合 Si。值得注意的是，问题的解空间往往存在多种表述形式，此时需审慎抉择，挑选出最为简洁且高效的表达方式，这对后续算法的性能起着至关重要的影响。

三、基本步骤

定义解空间：精准定义问题的解向量为 n 元组（x₁，x₂，…，xₙ），详细明确每个 xi 的取值范围，并梳理出完整的问题约束集 D。这一步骤如同为算法绘制了一张精确的地图，明确了搜索的边界与方向。
确定解空间结构：将解空间巧妙地具象化为一棵高为 n 的带权有序树 T，即状态空间树。树中的每一个节点都对应着问题求解过程中的一个特定状态，而叶子节点则代表着可能的最终解。这种树形结构为深度优先搜索提供了清晰的遍历框架。
深度优先搜索：以深度优先的方式有条不紊地遍历状态空间树。在搜索进程中，充分借助剪枝函数的强大功能，及时摒弃那些明显无效的搜索分支。常用的剪枝函数主要包括约束函数和目标函数。约束函数负责剪掉那些不满足既定约束条件的子树，而目标函数则针对优化类问题，剪掉那些无论如何都无法导向最优解的子树，从而显著减少不必要的计算量。

四、算法模式

递归回溯算法模式（求一个解）

初始化阶段，将解向量 v 设置为空，同时将标志位 flag 设为 false，以此作为算法执行的起始状态。
发起对递归函数 advance (k) 的调用，从解向量的第 k 个元素开始逐步构建解。
在 advance (k) 函数内部，针对集合 Xk 中的每一个元素 x，依次将其纳入解向量 v 中进行尝试。
一旦 v 构成了最终解，立即将 flag 设置为 true，并终止递归过程；若 v 仅为部分解，则递归调用 advance (k + 1)，持续推进解的构造工作。
最终，依据 flag 的值输出相应的结果，若 flag 为 true，表明成功找到解，反之则表示未找到符合要求的解。

非递归回溯算法模式（求一个解）

初始化解向量 v 为空，flag 设为 false，k 赋值为 1，为非递归回溯过程做好准备。
借助外层 while 循环把控整个回溯流程，内层 while 循环则专注于遍历集合 Xk 中的元素。
针对每个遍历到的元素 x，将其加入 v 中进行判断。若形成最终解，即刻将 flag 置为 true 并跳出循环；若为部分解，则令 k 自增 1，继续下一位置元素的构造。
若遍历完所有元素仍未找到解，执行回溯操作，即 k 减 1，并重置相关元素，以便重新探索其他可能路径。
根据 flag 的最终取值输出结果，判断是否成功寻得解。

非递归回溯算法模式（求所有解）

此模式与求一个解的非递归模式大致相仿，关键区别在于，当成功找到一个最终解时，直接将其输出，既不设置 flag，也不退出循环，而是继续在状态空间树中深入搜索，力求找出所有可能的解，全面覆盖问题的解空间。

五、经典应用

1数字组合问题

问题描述：从自然数 1、2、……、n 中任取 r 个数，生成所有可能的组合。

状态空间：E={（x₁，x₂，...，x_r）∣xi∈S ，i=1，2，...，r}，其中 S={1，2，3，...，n}，约束集为 x₁ <x₂<... <x_r。

递归算法：通过循环结构为组合中的每个位置精准赋值，实时判断当前组合是否为合法解或部分解，借助递归机制层层深入，构建出所有符合条件的组合。
INPUT: n个数分别为{1，2，…n}，r。
OUTPUT: n个数的所有r组合。

1. for k =1to r
2. c[k] =0
3. end for
4. Com(1)
过程 Com(k)
1. for m=1 to n
2. c[k] =m
3. if c为合法的解then得到一个r组合，输出c数组
4. else if c是部分的解 then Com(k+1)
5. end for

非递归算法：运用 while 循环模拟递归过程，通过巧妙的回溯操作，有条不紊地生成所有可能的数字组合，实现对解空间的全面遍历。
INPUT: n个数分别为{1，2，…n}，r。
OUTPUT: n个数的所有r组合。

 1. for k =1 to r2. c[k] =03. end for4. k =15. while k≥16. while c[k]≤n-17. c[k] =c[k]+18. if c为合法的 then得到一个r组合，输出c数组9. else if c是部分解 then k =k+110. end while11. c[k] =012. k =k-113. end while

2数字排列问题

问题描述：生成数字 1,2,…,n 的所有排列。

状态空间：E={（x₁，x₂，...，x_n）∣xi∈S ，i=1，2，...，n}，其中 S={1，2，3，...，n}，约束集为 xi≠xj (i≠j)。

非递归算法：采用回溯策略，借助循环和条件判断，在满足约束条件的前提下，逐一生成所有可能的数字排列，充分展现了回溯法在排列问题上的高效求解能力。
INPUT: n个数分别为{1，2，…n} 。
OUTPUT: n个数的一个排列。

1. for k =1 to n2. c[k] =03. end for4. flag=false，k =15. while k≥16. while c[k]≤n-17. c[k] =c[k]+18. if c为合法的 then flag=true，退出两层循环9. else if c是部分解 then k =k+110. end while11. c[k] =012. k =k-113. end while 14. if flag then output c15. else output “no solution”

3 着色问题

问题描述：为无向图 G=(V,E) 的顶点分配三种颜色之一，确保相邻顶点颜色不同。

状态空间：用 n 元组 (c₁,c₂,…,c_n) 表示顶点的着色方案，其中 ci∈{1,2,3}。所有可能的着色方案构成一棵完全三叉树。

递归算法：依次为每个顶点尝试三种颜色，依据相邻顶点颜色不同的约束条件，判断当前着色是否为合法或部分着色，通过递归调用不断构建合法的着色方案。

INPUT:无向图G=(V,E)
OUTPUT:G的顶点的3着色c[1…n],其中每个c[j]为
1,2,3

 1. For k ←1to n2. c[k] ←03. End for4. flag ←false5. Graphcolor(1)6. If flag then output c7. Else output “no solution”
过程 graphcolor(k)1. For color=1 to 32. c[k] ←color3. If c为合法着色 then set flag ←true and exit4. Else if c是部分的 then graphcolor(k+1)5. End for

非递归算法：利用 while 循环模拟递归过程，通过回溯操作在庞大的解空间中精准定位所有合法的着色方案，有效解决了图的着色难题。

输入：无向图G=(V,E)。
输出：G的顶点的3着色c[1…n],其中每个c[j]为
1,2,3。

 1. For k ←1 to n2. c[k] ←03. End for 4. flag ←false5. k ←16. While k≥17. While c[k]≤28. c[k] ←c[k]+19. If c为合法着色 then set flag←true且从两个while循环退出10. Else if c是部分解 then k ←k+111. End while12. c[k] ←013. k ←k-114. End while 15. If flag then output c16. Else output “no solution”

8 皇后问题

问题描述：在 8×8 国际象棋棋盘上合理放置 8 个皇后，使其彼此不能相互攻击。

状态空间：以完全四叉树形象地表示皇后的可能放置情况，树的每一层节点对应皇后在该行的不同放置列。

算法思想：以深度优先搜索遍历状态空间树，巧妙运用皇后不能相互攻击的约束条件进行剪枝操作，高效找出所有满足要求的合法放置方案，是回溯法解决约束性布局问题的经典范例。

算法步骤：INPUT:空
OUTPUT:对应于4皇后问题的解向量c[1…4]

 1.for k ←1 to 42. c[k] ←03. endfor4.flag ←false5.k ←1 6.while k≥17. While c[k]≤38. c[k] ← c[k] +19. If c为合法 then set flag ←true且从两个while循环退出10. Else if c是部分解 then k ←k+111. End while12. c[k] ←013. k ←k-114. End while15. If flag then output c16. Else output “no solution”

PARTITION 问题

问题描述：将自然数 n 拆分成若干数之和，或给定整数集合 X 和整数 y，找出和为 y 的子集 Y。

回溯策略：将问题的解巧妙表示为特定形式的元组，运用回溯法对所有可能的组合进行系统搜索，依据问题条件判断是否满足拆分或子集求和要求，从而成功求解。

算法步骤：INPUT:X集合(数组), 整数y
OUTPUT:X集合对应的n元布尔向量，使得对应的
元素为1的xi之和为y。

 1. 初始化n元布尔向量c[n]，值为-1；s=02. k ←1 3. while k≥ 14. while c[k]≤05. c[k] ← c[k] +16. if c[k]=1 then s=s+X[k] end if7. if s=y then c[k+1]~c[n]←0 输出c[ ]8. if(k=n) then break endif 9. else if (s<y)&&(k<n) then k ←k+110. endif11. endwhile12. s=s-X[k] 13. c[k] ← -114. k ←k-115. end while

0 - 1 背包问题

问题描述：在给定背包容积限制下，合理选择物品放入背包，使总价值达到最大。

状态空间：用 n 元组 (c₁,c₂,…,c_n) 表示物品是否被放入背包，其中 ci∈{0,1}。

回溯算法：全面生成所有可能的物品选择组合，精确计算每个组合的价值和体积。通过精心设计的剪枝策略，如基于目标函数估计，有效优化搜索过程，快速定位能实现最大价值的解，为背包问题提供了高效解决方案。

算法步骤：INPUT: n个物品的体积s[n]和价值v[n],背包容积C
OUTPUT: 所放物品的体积不超过背包容积C的条件下，最
大价值及其所放物品。

 1. 初始化n元布尔向量c[n]，值为2；S ← C; V ← 0; maxv ← 02. k ←1 3. while k≥ 14. while c[k]>05. c[k] ← c[k] -16. if c[k]=1 then S=S-s[k]; V=V+v[k] endif7. if c[k]=0 then S=S+s[k]; V=V-v[k] endif8. if c为合法解 then9. if V>maxv then maxv ←V，记录当前c[] endif
10. else if c为部分解 then k k+1
11. endif
12. endwhile
13. c[k] ← 2
14. k ←k-1
15. end while
16. 输出maxv和解元组c[]

六、时间复杂度

在最坏情况下，回溯算法面临着极为庞大的计算量。以数字组合问题和排列问题为例，其算法可能生成 O (n^r) 和 O (n^n) 个节点。在处理每个节点时，分别需要执行 O (r) 或 O (n) 的检查工作，这直接导致算法的运行时间高达 O (rn^r) 和 O (n^n)。不同问题的时间复杂度受到多种因素影响，包括问题解空间的规模大小、约束条件的严苛程度以及剪枝策略的实际效果。例如，若约束条件足够严格，剪枝策略能够高效发挥作用，及时削减大量无效搜索分支，那么算法的实际运行时间将显著缩短，反之则可能趋近于最坏时间复杂度。

七、总结

回溯法作为一种极具威力的算法设计技术，在各类组合与排列问题的求解中占据着重要地位。其核心在于深度优先搜索状态空间树，并借助剪枝函数大幅减少不必要的搜索开销，显著提升算法效率。在实际应用场景中，根据问题的独特特性，合理定义解空间、准确确定约束集以及精心设计高效的剪枝策略，是充分发挥回溯法优势的关键所在。尽管在最坏情况下，回溯法的时间复杂度可能较高，但通过巧妙运用剪枝技巧，在众多实际问题中仍能获得令人满意的解决方案。无论是判定类问题（如判断是否存在解、寻找一个或所有解），还是最优化问题（追求最优解），回溯法都能大显身手。然而，随着问题规模的不断膨胀以及复杂性的持续提升，回溯法的效率与可行性将面临一定挑战。不过，在解决中等规模问题以及对解的准确性要求极高的场景中，回溯法依然具有不可替代的重要价值。