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浮点数二分

news 来源：原创 2025/5/26 8:50:02

对于浮点数的二分查找（二分法），其核心思想与整数二分类似，但由于浮点数的精度问题，需要特别注意终止条件和精度控制。以下是浮点数二分的详细实现方法和注意事项。

1. 浮点数二分的核心思想

浮点数二分用于在连续区间内查找满足条件的浮点数。由于浮点数是连续的，二分法的终止条件通常基于精度（如 1e-6），而不是像整数二分那样基于区间端点相等。

2. 浮点数二分的模板

以下是浮点数二分的通用模板：

double binarySearch(double l, double r) {
    const double eps = 1e-6;  // 精度，根据题目要求调整
    while (r - l > eps) {     // 当区间长度大于精度时继续二分
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) {     // check 函数用于判断 mid 是否满足条件
            r = mid;          // 满足条件，缩小右边界
        } else {
            l = mid;          // 不满足条件，缩小左边界
        }
    }
    return l;  // 返回满足条件的值
}

3. 代码实现示例

假设我们需要求解函数 ( f(x) = x^2 - 2 ) 的根（即 ( sqrt（2） )），可以使用浮点数二分法。

代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// 检查 mid 是否满足条件
bool check(double x) {
    return x * x >= 2;  // 判断 x^2 是否大于等于 2
}

// 浮点数二分
double binarySearch(double l, double r) {
    const double eps = 1e-6;  // 精度
    while (r - l > eps) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) {
            r = mid;  // 满足条件，缩小右边界
        } else {
            l = mid;  // 不满足条件，缩小左边界
        }
    }
    return l;  // 返回满足条件的值
}

int main() {
    double l = 0, r = 2;  // 初始区间 [0, 2]
    double result = binarySearch(l, r);
    cout << "The square root of 2 is approximately: " << result << endl;
    return 0;
}

4. 代码说明

精度控制：
- 使用 eps = 1e-6 控制二分的终止条件。当区间长度 r - l 小于 eps 时，认为已经找到满足条件的值。
- 精度可以根据题目要求调整，通常取 1e-6 或 1e-7。
check 函数：
- check 函数用于判断当前值 mid 是否满足条件。
- 在示例中，check(mid) 判断 ( mid^2 ) 是否大于等于 2。
二分过程：
- 每次将区间 [l, r] 分为两部分，根据 check(mid) 的结果缩小搜索范围。
- 如果 check(mid) 为真，说明目标值在左半部分，缩小右边界 r = mid。
- 如果 check(mid) 为假，说明目标值在右半部分，缩小左边界 l = mid。
返回值：
- 最终返回 l 或 r，它们是满足条件的近似值。

5. 注意事项

精度选择：
- 精度 eps 不能太小，否则可能导致无限循环。
- 精度也不能太大，否则结果不够精确。
区间初始化：
- 初始区间 [l, r] 必须包含目标值。
- 例如，求 ( sqrt(2)) 时，初始区间可以是 [0, 2]。
浮点数比较：
- 浮点数比较时，避免直接使用 ==，而是通过区间长度 r - l 控制终止条件。

6. 经典例题

求平方根：

给定一个浮点数 ( x )，求其平方根。

代码示例：

double sqrt(double x) {
    double l = 0, r = x;
    const double eps = 1e-6;
    while (r - l > eps) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid >= x) {
            r = mid;
        } else {
            l = mid;
        }
    }
    return l;
}

求解方程的根：

给定一个单调函数 ( f(x) )，求其根 ( f(x) = 0 )。

代码示例：

double solveEquation(double l, double r) {
    const double eps = 1e-6;
    while (r - l > eps) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (f(mid) >= 0) {  // 假设 f(x) 单调递增
            r = mid;
        } else {
            l = mid;
        }
    }
    return l;
}