一阶微分方程的解法与通解式全解析

一阶微分方程的解法与通解式全解析

一、基础概念

一阶微分方程的一般形式为：
$$F(x,y,y^{\prime })=0\text{或}\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$

根据方程类型的不同，可采用以下经典解法：

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二、可分离变量方程

1. 标准形式

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$$

2. 解法步骤

1. 分离变量：$\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx$
2. 两边积分：$\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx+C$

3. 示例

解方程：$\frac{dy}{dx}=x^{2}y$

步骤：

1. 分离变量：$\frac{dy}{y}=x^{2}dx$
2. 积分得：$\ln |y|=\frac{x^3}{3}+C$
3. 通解：$y=C{e}^{\frac{x^3}{3}}$

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三、齐次方程

1. 标准形式

$$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$$

2. 解法步骤

1. 令代换 $v=\frac{y}{x}$，则 $y=vx$
2. 对$x$求导：$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$
3. 代入方程并分离变量求解

3. 示例

解方程：$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2$

步骤：

1. 令$v=\frac{y}{x}$，方程变为：$v+x\frac{dv}{dx}=v+v^2$
2. 化简得：$\frac{dv}{v^2}=\frac{dx}{x}$
3. 积分得：$-\frac{1}{v}=\ln |x|+C$
4. 通解：$y=-\frac{x}{\ln |x|+C}$

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四、一阶线性微分方程

1. 标准形式

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

2. 通解公式（积分因子法）

$$y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$$

3. 示例

解方程：$\frac{dy}{dx}+2xy=4x$

步骤：

1. 积分因子：$\mu (x)=e^{\int 2xdx}=e^{x^2}$
2. 方程两边乘$\mu (x)$：$e^{x^2}\frac{dy}{dx}+2x{e}^{x^2}y=4x{e}^{x^2}$
3. 左边为导数：$\frac{d}{dx}(y{e}^{x^2})=4x{e}^{x^2}$
4. 积分得：$y{e}^{x^2}=2e^{x^2}+C$
5. 通解：$y=2+C{e}^{-x^2}$

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五、伯努利方程（进阶）

1. 标准形式

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 1)$$

2. 解法

通过代换 $v=y^{1-n}$ 转化为线性方程求解

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六、通解式总结表

方程类型	通解形式
可分离变量方程	$y=C{e}^{\int g(x)dx}$
齐次方程	隐式解 $F\left( \frac{y}{x} \right) = \ln
一阶线性方程	$y=e^{-\int Pdx}\left(\int Q{e}^{\int Pdx}dx+C\right)$

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七、应用提示

1. 判断类型：先观察方程是否可分离变量/齐次/线性
2. 验证解：将通解代入原方程检验
3. 特殊情形：注意$P(x)$或$Q(x)$不连续点的存在性

练习建议：从《微分方程教程》（Boyce & DiPrima）中选取典型例题巩固解法