我爱学算法之—— 二分查找（上）

了解二分算法

二分查找，想必多多少少有一点了解了，我们了解的二分查找算法：

当一个数组有序的时候，我们可以使用二分算法来查找一个值；

直接比较mid((left + right)/2)和我们要查找的值target；如果nums[mid] > target就在右边查找，否则在左边查找。

但是二分查找真的如此简单吗？在什么时候才能使用二分查找呢？

使用二分查找的条件：数组有序；其实本质是是利用二段性；

简单来说，将数组分为；两个区间，一个区间内是满足某个条件；而另一个区间是满足其相反的条件的。

现在我们来通过了解二分查找的算法题，来深入探究二分查找，以及什么时候能够使用二分查找。

一、二分查找

题目解析

这道题，想必之前已经见到过了；

给定一个数组nums和一个值target，让我们在nums数组中查找target，如果存在就返回下标；否则返回-1。

算法思路

对于这道题，我们可以使用暴力查找：让target和数组nums中所有元素一个一个比较；

暴力解法时间复杂度为O(n)；从效率上来说也是非常不错的；

但是暴力解法并没有使用到我们数组有序这一个条件；

我们这里想一下，当我们暴力查找到一个位置mid时，区间[0,mid-1]内的值是不是都是小于mid位置的值的；区间[mid+1,n]内的值是不是都是大于mid位置的值的。

简单来说就是：我们任取一个位置，这个位置的值为x；这个位置左边区间的值都是小于x的，右边区间的值都是大于x的。

那我们是不是就可以将区间划分为两部分：

• 左边区间的值都是小于x的
• 右边区间的值都是大于x的

这样我们任取一个位置，如果这个位置的值x大于我们要找的值target，那就去这个位置左边区间再去找target；

如果这个位置的值x大于我们要找的值target，那就去这个位置右边区间内再去找target。

那我们大致就理解了如何去找target；但是我们可以取二分点也可以取三分点、四分点…，那如何去取mid呢？

这里就不叙述这个问题了，我们取二分点的效率是最高的。

二分整体思路：

• 首先定义left、right分别指向区间的开始位置和结束位置。

• 取mid（mid = (left + right)/2）

• 比较mid位置和要查找的值target：

  如果nums[mid] > target，就去左边区间找，right = mid - 1；

  如果nums[mid] < target，就去右边区间找，left = mid + 1；

  如果nums[mid] == target，找到了我们要查找的值，返回结果。

• 查找结束还没有返回结果（left和right错过去了，那就表示数组中不存在target）。

这里需要注意：

**循环结束的条件：**我们left和right指向的位置都是没有查找过的位置，所以当left > right时，循环才能结束。

**取mid：**这里如果数组过大，left + right就可能超出数据范围，我们使用left + (right - left)/2或者left +(right - left + 1)/2来计算；但是有一个问题，对于数组内数据个数是奇数时，这两种计算方式没有什么影响；但如果数组中数据个数是偶数时，第一种left + (right - left)/2求的mid是偏左的，而left + (right - left +1)/2求出的mid是偏右的。

在这道题中我们感受不到这两种求法的差别，在下面题目中我们就能感受到这两种求法的差别了。

代码实现

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {// int mid = (left+right)/2;int mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] > target)right = mid - 1;else if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elsereturn mid;}return -1;}
};

二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目解析

这道题和上面那一道题不同，上一道题目在nums数组中只存在应该target，而这道题目中可能存在多个target；

我们需要找到多个target的起始位置和结束位置。

如果数组中不存在target就返回-1,-1。

算法思路

首先还是来看暴力解法：从左到右遍历数组，遇到target，就记录target起始位置，然后继续向后遍历直到某个位置的值不等于target；

如果数组中不存在target，那暴力解法最坏情况下的时间复杂度为O(n)。

那现在我们来想如何使用二分查找来解决这个问题：

这里相信有人和博主一样，先利用二分查找查找到target的某一个位置，然后向左和向右遍历查找target出现的起始位置和结束位置；但是如果数组中的数据都是target，那我们不也是要查找完整个数组，时间复杂度也是O(n)；

这里我们就不使用上面二分算法划分区间的方法了，因为我们这里target不一定只出现一次，我们找到target时不能直接返回，因为我们不确定是否还存在其他target；

这里我们要查找的是target的起始位置和结束位置，说白了就是左边界和右边界。

二分算法查找左边界：

这里我们查找到target不能直接返回，那就试着将nums[mid] == target划分到左边或者右边的情况；

简单来说就是这里要找的是大于等于t区间的左边界，我们将数组划分成两部分：

• 左边区间内的值都是小于target的。
• 右边区间内的值都是大于等于target的。

这样我们在使用二分查找时：

• 如果nums[mid] < target，那就可以直接舍去[left , mid-1]和mid位置的（left = mid + 1）；
• 如果nums[mid] >= target，我们的mid位置的值可能等于target，所以我们只能舍去区间[mid + 1 , right]；（right = mid）（这里我们要找的是左边界，如果mid位置的值是等于mid+1位置的值时，我们是可以舍去mid+1位置的）

这里我们要求的是大于等于target区间的左边界，所以划分成小于x和大于等于x的两个区间

这里要注意：

**循环结束条件：**这里我们当left == right时，循环就结束了；所以循环的条件是left < right而不是left <= right。

• 这里left == right时是不需要判断的，因为此时就是最终结果：

  数组中存在大于等于target的区间，也存在小于target的区间，此时left和right相等时指向的就是大于等于target区间左端点的位置

  数组中如果所有数都大于等于target，此时right最终会指向left的位置也就是数组的起始位置，也是大于等于target区间的左端点的位置。

  数组中如果所有数都小于target，此时left最终最指向left的数组的结束位置，也就是right；

• 如果left == right判断了，可能会陷入死循环

  因为这里当nums[mid] >= target时，right = mid；这样如果最后left和right指向的位置是大于等于target的，求出的mid是等于left和right的，那此时就会陷入死循环。

求mid的值：

在上面朴素的二分查找算法中，我们利用哪一种求法都可以，但是在这里就不一样了；

如果数据个数是偶数个，利用mid = left + (right - left)/2求出的mid是偏左的；利用mid = left + (right - left + 1)/2求出来的mid是偏右的；

这里我们要找的是区间的左边界，我们要使用mid = left + (right - left)/2来求mid。

因为最后如果left和right指向两个相邻的位置(left + 1 = right)，利用第一种方法求出来的mid是等于left的；利用第二章方法求出来的mid是等于right的；

如果我们right位置的值的大于等于target的，如果求出的mid是等于right的，此时就会陷入死循环；（因为nums[mid] >= target时，right = mid）

二分算法查找右边界：

和查找左边界类似：

我们要查找的是小于等于target区间的有边界，我们可以根据要查找的位置将数组划分成两部分：

• 左边区间内的值都是小于等于target的
• 右边区间内的值都是大于target的

在二分查找的过程中：

• 如果nums[mid] <= target，mid位置可能就是最终要查找的结果，所以只能舍去区间[left , mid-1]（left = mid）；（这里查找的是区间的右边界，所以即使mid-1位置的值等于mid位置的值，也是直接可以舍去的）
• 如果nums[mid] > target，区间[mid , right]内的值都是大于target的，可以舍去区间[mid , right]（right = mid - 1）。

这里我们要查找的是小于等于target区间的右边界所以划分为：小于等于target和大于target两区间

这里也要注意：

循环条件是left < right而不是left<=right。

求mid：

在求左边界时使用的是mid = left + (right - left)/2，这样在偶数个数据时求的是偏左位置的；

这里我们要使用mid = left + (right - left + 1)/2，这样当数组在数据个数是偶数个时，求出的mid是偏右的。

因为最后如果left和right指向两个相邻的位置(left + 1 = right)，利用第一种方法求出来的mid是等于left的；利用第二章方法求出来的mid是等于right的；

如果我们left位置的值的小于等于target的，如果求出的mid是等于left的，此时就会陷入死循环；（因为nums[mid] <= target时，left = mid）

代码实现

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {//数组为空if(nums.empty())    return {-1,-1};int n = nums.size();int begin = 0,end = 0;//求大于等于target区间的左边界int left = 0,right = n-1;while(left < right){int mid = left + (right - left)/2;if(nums[mid] >= target) right = mid;else    left = mid + 1;}//判断是否存在targetif(nums[left] != target)    return {-1,-1};begin = left;//求小于等于target区间的右边界left = 0,right = n-1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1)/2;if(nums[mid] <= target) left = mid;else    right = mid -1;}end = right;return {begin,end};}
};

简单总结

这里两道题，算是最基本的二分算法题，我们一定要理解，理解之后在之后的二分算法题目再深入探究二分算法。