【C++游戏引擎开发】第25篇：方差阴影贴图（VSM，Variance Shadow Maps）

一、VSM 的核心思想

1.1 VSM 的核心思想

1.1.2 从深度到概率的转变

VSM 的核心创新在于将阴影判定从深度比较转换为概率估算。通过存储深度分布的统计信息（均值和方差），利用概率不等式动态计算阴影强度，从而支持软阴影并减少锯齿。

1.1.3 深度分布的统计表示

VSM 在阴影贴图中存储两个通道：

1. ​一阶矩（均值）​：$$\mu =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}_i$$
2. ​二阶矩（平方均值）​：$${\mu }_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}_i^2$$
   其中，$d_i$ 表示光源视角下某像素的深度值。

通过这两个值可计算方差：$$\text{Var}={\mu }_2-{\mu }^2$$

1.2 数学基础：切比雪夫不等式

1.2.1 概率不等式定义

切比雪夫不等式（Chebyshev’s Inequality）用于估算随机变量 $d$ 超过某阈值 $t$ 的概率：
$$P(d\ge t)\le \frac{\text{Var}}{\text{Var}+(t-\mu {)}^2}$$

1.2.2 阴影强度计算

在 VSM 中，当前片段到光源的深度为 $t$，阴影强度定义为该深度被遮挡的概率：
$$\text{Shadow}=P(d\le t)=1-P(d\ge t)$$
因此：
$$\text{Shadow}\approx \frac{\text{Var}}{\text{Var}+(t-\mu {)}^2}$$

1.3 VSM 的优势与局限性

1.3.1 核心优势

1. ​软阴影支持：通过概率估算自动生成半影效果，无需手动模糊。
2. ​抗锯齿能力：方差计算平滑了深度跳变，减少边缘锯齿。
3. ​抗漏光优化：方差修正缓解了深度不连续导致的漏光问题。
4. ​高效性：相比 PCF 的多重采样，VSM 仅需一次纹理查询。

1.3.2 技术挑战

1. ​存储开销：需要双通道浮点纹理（例如 GL_RG32F）。
2. ​过度模糊：在深度分布复杂的区域（如树枝、栅栏），阴影可能过度模糊。
3. ​数值稳定性：方差计算需避免负数（通过钳制或插值修正）。

1.5 VSM 的适用场景

1. ​动态光源：适用于需要实时更新阴影贴图的场景。
2. ​柔和光照：室内灯光、自然光照等需要软阴影的环境。
3. ​中高性能硬件：依赖浮点纹理和双通道渲染能力。

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二、实战示例

贴图下载见：【C++游戏引擎开发】第15篇：OpenGL中的纹理加载

2.1 核心代码

#version 460 core
out vec4 FragColor; // 最终输出颜色in VS_OUT {vec3 FragPos;    // 输入的世界坐标vec3 Normal;     // 输入的法线vec2 TexCoords;  // 输入的纹理坐标vec4 FragPosLightSpace; // 灯光空间坐标
} fs_in;uniform sampler2D diffuseTexture; // 漫反射纹理
uniform sampler2D shadowMap;      // 阴影贴图uniform vec3 lightPos;    // 光源位置
uniform vec3 viewPos;     // 摄像机位置// 阴影计算函数
float ShadowCalculation(vec4 fragPosLightSpace) {// 透视除法转换到NDC坐标vec3 projCoords = fragPosLightSpace.xyz / fragPosLightSpace.w;// 从[-1,1]转换到[0,1]范围projCoords = projCoords * 0.5 + 0.5;// 超出阴影贴图范围的区域不产生阴影if(projCoords.z > 1.0 || projCoords.z < 0.0)return 0.0;// 从阴影贴图读取深度矩（R通道存储深度，G通道存储深度平方）vec2 moments = texture(shadowMap, projCoords.xy).rg;float currentDepth = projCoords.z; // 当前片段深度// 计算方差（E(x²) - E(x)^2）float variance = moments.y - (moments.x * moments.x);variance = max(variance, 0.00002); // 防止方差为负// 计算深度差float d = currentDepth - moments.x;if(d < 0.0) // 当前深度小于平均深度，说明未被遮挡return 0.0;// 使用切比雪夫不等式计算阴影概率float p = (d * d) / (variance + d * d);return clamp(p, 0.0, 1.0); // 返回阴影强度
}void main() {           vec3 color = texture(diffuseTexture, fs_in.TexCoords).rgb; // 采样纹理颜色vec3 normal = normalize(fs_in.Normal); // 归一化法线// 漫反射计算vec3 lightDir = normalize(lightPos - fs_in.FragPos); // 光源方向float diff = max(dot(lightDir, normal), 0.0);       // 漫反射强度vec3 diffuse = diff * vec3(1.0);                     // 漫反射颜色// Blinn-Phong高光计算vec3 viewDir = normalize(viewPos - fs_in.FragPos);    // 视线方向vec3 halfwayDir = normalize(lightDir + viewDir);      // 半角向量float spec = pow(max(dot(normal, halfwayDir), 0.0), 64.0); // 高光强度// 阴影计算float shadow =<