差分及其性质不变算子移位算子
目录
- 差分及其性质
- 不变算子&移位算子
差分及其性质
设函数 y = f ( x ) =f(x) =f(x)在等距节点 x k = x 0 + k h x_k=x_0+kh xk=x0+kh ( k = 0 , 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , n k=0,1,\cdotp\cdotp\cdotp,n k=0,1,⋅⋅⋅,n)上的值 f k = f ( x k ) f_k=f(x_k) fk=f(xk)为已知，这里 h h h 为常数，称为步长。
Δ f k = f k + 1 − f k \Delta f_{k}=f_{k+1}-f_{k} Δfk=fk+1−fk
∇
f
k
=
f
k
−
f
k
−
1
\nabla f_k=f_k-f_{k-1}
∇fk=fk−fk−1
δ
f
k
=
f
(
x
k
+
h
/
2
)
−
f
(
x
k
−
h
/
2
)
=
f
k
+
1
2
−
f
k
−
1
2
\delta f_k=f(x_k+h/2)-f(x_k-h/2)=f_{k+\frac12}-f_{k-\frac12}
δfk=f(xk+h/2)−f(xk−h/2)=fk+21−fk−21
分别称为 f ( x ) f(x) f(x)在 x k x_k xk 处以 h h h 为步长的向前差分、向后差分及中心差分。符号 Δ , ∇ , δ Δ,∇,δ Δ,∇,δ 分别称为向前差分算子、向后差分算子及中心差分算子。
利用一阶差分可定义二阶差分为
Δ
2
f
k
=
Δ
f
k
+
1
−
Δ
f
k
=
f
k
+
2
−
2
f
k
+
1
+
f
k
.
\Delta^2f_k=\Delta f_{k+1}-\Delta f_k=f_{k+2}-2f_{k+1}+f_k.
Δ2fk=Δfk+1−Δfk=fk+2−2fk+1+fk.
一般地，可定义
m
m
m 阶差分为
Δ
m
f
k
=
Δ
m
−
1
f
k
+
1
−
Δ
m
−
1
f
k
\Delta ^mf_k= \Delta ^{m- 1}f_{k+ 1}- \Delta ^{m- 1}f_k
Δmfk=Δm−1fk+1−Δm−1fk
∇
m
f
k
=
∇
m
−
1
f
k
−
∇
m
−
1
f
k
−
1
\nabla ^mf_k= \nabla ^{m- 1}f_k- \nabla ^{m- 1}f_{k- 1}
∇mfk=∇m−1fk−∇m−1fk−1
因中心差分 δ f k \delta f_k δfk 用到 f k + 1 2 f_{k+\frac12} fk+21及 f k − 1 2 f_{k-\frac12} fk−21这两个值，实际上不是函数表上的值。
如果用函数表的值，一阶中心差分应写成
δ
f
k
+
1
2
=
f
k
+
1
−
f
k
\delta f_{k+ \frac 12}= f_{k+ 1}- f_k
δfk+21=fk+1−fk
δ
f
k
−
1
2
=
f
k
−
f
k
−
1
\delta f_{k- \frac 12}= f_k- f_{k- 1}
δfk−21=fk−fk−1
二阶中心差分为
δ
2
f
k
=
δ
f
k
+
1
2
−
δ
f
k
−
1
2
\delta^2f_k=\delta f_{k+\frac12}-\delta f_{k-\frac12}
δ2fk=δfk+21−δfk−21
不变算子&移位算子
除了已引人的差分算子外，常用算子符号还有不变算子
I
I
I 及移位算子
E
E
E：
I
f
k
=
f
k
{I} f_k= f_k
Ifk=fk
E
f
k
=
f
k
+
1
{E} f_k= f_{k+ 1}
Efk=fk+1
于是，由
Δ
f
k
=
f
k
+
1
−
f
k
=
E
f
k
−
I
f
k
=
(
E
−
I
)
f
k
\Delta f_k=f_{k+1}-f_k=Ef_k-If_k=(E-I)f_k
Δfk=fk+1−fk=Efk−Ifk=(E−I)fk
可得
Δ
=
E
−
I
\Delta=E-I
Δ=E−I
同理，可得
∇
=
I
−
E
−
1
\nabla=I- \mathrm{E} ^{- 1}
∇=I−E−1
δ
=
E
1
2
−
E
−
1
2
\delta = \mathrm{E} ^{\frac 12}- \mathrm{E} ^{- \frac 12}
δ=E21−E−21