每天五分钟机器学习：凸优化

本文重点

凸优化作为一类特殊的数学优化问题，因其理论完备性和计算高效性，在人工智能领域发挥着至关重要的作用。从经典的逻辑回归到深度神经网络的初始化，从支持向量机的核技巧到强化学习的策略优化，凸优化理论不仅为算法提供了坚实的数学基础，还直接推动了人工智能模型的性能边界。

凸优化的数学原理

凸优化的研究对象是定义在凸集上的凸函数。凸集和凸函数的组合保证了优化问题的“友好性”——任何局部最优解即为全局最优解，这一性质为算法设计提供了极大便利。

凸优化问题的标准形式

凸优化问题可表示为：

其中 f0,f1​,…,fm​ 为凸函数，h1​,…,hp​ 为仿射函数（形如 h(x)=aTx+b）。该问题的可行域为凸集，目标函数为凸函数，因此任一局部极小点即为全局极小点。

凸优化问题：

• 目的是求取目标函数的最小值；