常用共轭先验分布

内容来源

贝叶斯统计（第二版）中国统计出版社

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正态分布的均值

总体分布 $N(\theta ,{\sigma }^2)$

先验分布为正态分布 $N(\mu ,{\tau }^2)$

样本 $x_i(i=1,2,\cdots ,n)$

后验分布为

$$N\left(\frac{\overline{x}\frac{n}{{\sigma }^2}+\mu {\tau }^{-2}}{\frac{n}{{\sigma }^2}+{\tau }^{-2}},\frac{{\tau }^2\frac{{\sigma }^2}{n}}{{\tau }^2+\frac{{\sigma }^2}{n}}\right)$$

正态分布的方差

总体分布 $N(\theta ,{\sigma }^2)$

先验分布为倒伽玛分布 $IGa(\alpha ,\lambda )$

样本 $x_i(i=1,2,\cdots ,n)$

后验分布为

$$IGa\left(\alpha +\frac{n}{2},\lambda +\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(x_i-\theta {)}^2\right)$$

二项分布的成功概率

总体分布 $b(n,\theta )$

先验分布为贝塔分布 $Be(\alpha ,\beta )$

样本 $x$

后验分布为

$$Be(\alpha +x,\beta +n-x)$$

泊松分布的均值

总体分布 $P(\lambda )$

先验分布为伽马分布 $\Gamma (\alpha ,\beta )$

样本 $x$

后验分布为

$$\Gamma \left(\alpha +x,\frac{\beta }{(\beta +1)}\right)$$

指数分布均值的倒数

总体分布 $Exp(\lambda )$

先验分布为伽马分布 $\Gamma (\alpha ,\beta )$

样本 $x$

$$\Gamma \left(\alpha +1,\frac{\beta }{1+x\beta }\right)$$