【天外之物】叉乘获得法向量

叉乘是三维向量运算中获取法向量的核心方法。以下是原理和案例的详细说明：

---

一、叉乘的原理

对于两个三维向量 $\mathbf{a}$ = $(a_x,a_y,a_z)$ 和 $\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$，它们的叉乘定义为：
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)$$

关键性质：

1. 方向：结果向量垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在的平面，方向由右手定则确定（见下图）。
2. 模长：$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$（$\theta$ 为两向量夹角）。

---

二、通过叉乘获取法向量的步骤

1. 计算叉乘：对两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 进行叉乘运算，得到结果向量 $\mathbf{n}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$。
2. 归一化（可选）：若需要单位法向量，将 $\mathbf{n}$ 除以其模长：$\hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}$。

---

三、具体案例

案例1：正交单位向量的叉乘

• 向量 $\mathbf{a}=(1,0,0)$（单位向量，沿x轴），
• 向量 $\mathbf{b}=(0,1,0)$（单位向量，沿y轴）。

叉乘计算：
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left(0\cdot 0-0\cdot 1,0\cdot 0-1\cdot 0,1\cdot 1-0\cdot 0\right)=(0,0,1)$$

结果分析：

• 叉乘结果 $(0,0,1)$ 是z轴方向的单位向量，垂直于x-y平面。
• 直接是单位法向量，无需归一化。

---

案例2：非正交单位向量的叉乘

• 向量 $\mathbf{a}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$（单位向量，在x-y平面内，与x轴夹角45°），
• 向量 $\mathbf{b}=(0,1,0)$（单位向量，沿y轴）。

叉乘计算：
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0-0\cdot 1,0\cdot 0-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0,\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 0\right)=\left(0,0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$

归一化：

• 原结果模长为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，归一化后得到单位法向量：
  $$\hat{\mathbf{n}}=\left(0,0,1\right)$$

结果分析：

• 叉乘结果方向为z轴方向，垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在平面。
• 因为原向量非正交，需归一化得到单位法向量。

---

四、应用场景

叉乘生成的法向量广泛用于：

1. 计算机图形学：计算三角形面的法向量用于光照渲染。
2. 物理学：确定力矩、磁场方向等。
3. 几何建模：判断平面或曲面的方向。

---

总结

• 叉乘是获取法向量的直接方法，方向由右手定则确定。
• 若原始向量是正交单位向量，叉乘结果直接是单位法向量；否则需归一化。