模运算的基本性质

问题引入

今天在刷题的时候遇到了一个问题，为什么((x + y) % p + y) % p等价于(x + y + y) % p?
这就要了解模运算的性质，之前其实已经学过模运算的分配律、结合律等等了，但是太懒了就没有总结，看来还是得总结一下。。。

模运算的基本性质

首先了解预备知识：

1. 模可以加、减、乘、幂，但不能直接除。
2. 在模运算下，你可以“先模后加、减、乘、幂”，也可以“合起来运算完完再模”，因为加、减、乘、幂和模运算是兼容的，换句话说：模可以出现在运算的任何位置。

加法性质

(a % m + b % m) % m ≡ (a + b) % m

模可以分配到加法里，也可以从加法里提取出来，这就是分配律和结合律

减法性质

错误写法： (a % m - b % m) % m ≡ (a - b) % m

注意这样有可能得到负数，比如(3 % 5 - 7 % 5) % 5 的结果本来是 (3 - 2) % 5 = 1
但是如果根据公式来计算
(3 % 5 - 7 % 5) % 5 = (3 - 7) % 5 = -4 % 5 = 1

乘法性质

(a % m * b % m) % m ≡ (a * b) % m

幂运算性质（可递推）

(a^k) % m ≡ ((a % m)^k) % m

📌这是快速幂的基础

传递性（等价替换）

a ≡ b (mod m)，则 f(a) ≡ f(b) (mod m)

只要 f 是由加减乘幂构成的表达式就可以替换

同余传递性

如果 a ≡ b (mod m)，且 c ≡ d (mod m)
则 a + c ≡ b + d (mod m)
a - c ≡ b - d (mod m)
a * c ≡ b * d (mod m)

取模分配律（可以提前或延后取模）

(a + b) % m ≡ ((a % m) + (b % m)) % m
(a - b) % m ≡ ((a % m) - (b % m) + m) % m
(a * b) % m ≡ ((a % m) * (b % m)) % m

一个防负数的技巧（模加模）

((a % m) + m) % m

负数取模的结果

1. 商向零取整 (Truncated Division)

• 适用语言: C/C++/Java/JavaScript
• 规则: 结果的符号与被除数（第一个数）相同
• 公式:
  a % b = a - b × trunc(a / b)
  （trunc表示向零取整，即直接截断小数部分）

-7 % 3 = -1   // 因为 -7 ÷ 3 = -2.333... → trunc(-2.333) = -2 → -7 - (3 × -2) = -1
7 % -3 = 1    // 7 ÷ -3 = -2.333... → trunc(-2.333) = -2 → 7 - (-3 × -2) = 1
-7 % -3 = -1  // -7 ÷ -3 = 2.333... → trunc(2.333) = 2 → -7 - (-3 × 2) = -1

2. 商向负无穷取整 (Floored Division)

• 适用语言: Python/Ruby

• 规则: 结果的符号与除数（第二个数）相同，且结果非负

• 公式:
  a % b = a - b × floor(a / b)
  （floor表示向下取整）

-7 % 3 = 2    # 计算过程:# -7 ÷ 3 = -2.333... → floor(-2.333) = -3# -7 - (3 × -3) = 27 % -3 = -2   # 7 ÷ -3 = -2.333... → floor(-2.333) = -3# 7 - (-3 × -3) = -2-7 % -3 = -1  # -7 ÷ -3 = 2.333... → floor(2.333) = 2# -7 - (-3 × 2) = -1

3. 数学上的模运算（同余）

数学中，模运算的结果通常是非负的（与Python规则一致），例如：
-7 ≡ 2 (mod 3)
因为 -7 + 3 × 3 = 2

floor 和 trunc 函数对比

1. 定义对比

函数	行为描述	数学表示
floor	向负无穷方向取整（返回 ≤ 原数的最大整数）	floor(x) = ⌊x⌋
trunc	向零方向取整（直接截断小数部分）	trunc(x) = { ⌊x⌋ (x≥0), ⌈x⌉ (x<0) }

2. 具体行为

(1) 正数的情况
输入：x = 3.7

• floor(3.7) = 3
• trunc(3.7) = 3
  （两者结果相同）

(2) 负数的情况
输入：x = -2.3

• floor(-2.3) = -3 （向更小的整数方向取整）
• trunc(-2.3) = -2 （直接截断小数部分，向零靠近）

3. 关键区别

• 对于正数：两者行为一致
• 对于负数：
  • floor：向更小的整数取整（-2.3 → -3）
  • trunc：向零取整（-2.3 → -2）

4. 应用场景

• floor：用于需要保证结果≤原数的场景（如分页计算）
• trunc：用于需要快速截断小数部分的场景（如金融取整）

注：⌊ ⌋表示向下取整，⌈ ⌉表示向上取整

回到问题

为什么((x + y) % p + y) % p等价于(x + y + y) % p?

原式((x + y) % p + y) % p相当于

• 先对 (x + y) 取了模
• 再加一个 y
• 再取模

这就等价于把所有加数凑一起 (x + y + y) 后整体取模，因为(x + y) 取模之后的结果再取模结果是不变的，(x + y)不管取几次模结果都是一样的，只要有一次取模就行了，内层的取模运算我们就可以去掉，所以可以转换成(x + y + y) % p。
这样以来了解本质后，就可以在原来的加法性质进一步扩展，不仅仅只有 (a % m + b % m) % m 的时候才等价于 (a + b) % m。同样地 (a % m + b ) % m 、(a + b % m) % m 都是等价于 (a + b) % m
的。