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洛谷题目：P2371 [CTSC 中国信息学国家集训队] 墨墨的等式题解（本题难）

news 来源：原创 2025/4/30 14:57:55

题目传送门：

P2371 [国家集训队] 墨墨的等式 - 洛谷 (luogu.com.cn)

前言：

这道题主要求我们计算在区间 $[l,r]$ 中 $b$ 能使等式 ${\textstyle \sum_{i=1}^{n}}$ $a_{i} x_{i}=b$ 存在非负整数解，总体来难度的话还是挺大的，下面为大家详细讲解解题思路。

本题狠心思路：

我们采用同余最短路的方法来解决这个问题。同余最短路的狠心思想是利用余数的心智，将一个复杂的线性组合存在性问题转化为图论中的最短路问题，通过构件图并计算最短路径来确定满足条件的 $b$ 的个数。

#具体步骤：

1、选择模数：

给定的 $n$ 个系数 $a_{1},a_{2}\cdots ,a_{n}$ 中选择一个非零的 $a_{i}$ 作为模数 mod ，通常选择最小的非零 $a_{i}$ ，作为模数可以使后续构建的图的节点数相对较少，减少计算量。

2、构建图：

将所有可能的余数 0 到 $mod-1$ 看做图中的节点。对于每个 $a_{j} (1\le j\le n)$ ，从节点 $k$ 向节点 $(k+a_{j})mod$ $mod$ 连着一条长度为 $a_{j}$ 的边。

3、求解最短路：

我们使用 Dijkstra 等最短路算法，以 0 为起点，计算到每个节点 $i$ 的最短路路径的长度 $dis[i]$ 。这里的 $dis[i]$ 表示能得到余数为 $i$ 的最小的 $b$ 值。具体来说，从起点 0 开始，不断更新到其他节点的最短距离，当遍历完所有可能的边后，就能得到从 0 到每个余数节点的最短路径长度，当遍历完所有可能的边后后，就能得到从 0 到每个余数节点的最短路径长度。

4、统计答案：

对于给定的区间 $[l,r]$ ，遍历所有余数 $i$ $(0\le i < mod)$ 。对于每个余数 $i$ ，能的到余数为 $i$ 的最小的 $b$ 的值是 $dis[i]$ ，那么满足 $dis[i]+k \times mod \in [l,r]$ 的非负整数 $k$

的个数就是该余数对应的满足条件 $b$ 的个数。我们可以通过计算满足不等式 $l \le dis[i]+k \times mod \le r$ 的 $k$ 的范围来得到这个个数。具体计算的时候，我们要先计算 $k$ 的下线 $left = max(0,\left \lceil \frac{l-dis[i]}{mod} \right \rceil )$ 和上限 $right=\left \lfloor \frac{r-dis[i]}{mod} \right \rfloor$ ，则满足条件的 $k$ 的个数为 $max(0,right - left +1)$ ，将所有余数对应的个数累脚起来就是最答案。

##示例解释：

假设我们输入 $n=2,t=5,r=10,a_{1}=3,a_{2}=5$ 。

选择 $mod=3$ 作为模数。

构建图：

从节点 0 向节点 $(0,3)mod3=0$ 连长度为 3 的边，向节点 $(0,5)mod3=2$ 连长度为 5 的边。

从节点 1 向节点 $(1+3)mod3=1$ 连长度为 3 的边，向节点 $(1+5)mod3=0$ 连长度 5 的边。

从节点 2 向节点 $(2+3)mo3=2$ 连长度为 3 的边，向节点 $(2+5)mod3=1$ 连长度为 5 的边。

使用 Dijkstra 算法计算最短路，得到 $dis[0]=0,ds[1]=5,dis[2]=3$ 。

统计答案：

对于 $i=0$ ；

计算 $left=max(0,\left \lceil \frac{5-0}{3} \right \rceil )=2,right=\left \lfloor \frac{10-0}{3} \right \rfloor$ ，满足条件的 $k$ 的有 3 - 2 + 1 = 2 个，对应的 $b$ 为 2 * 3 = 6 和 3 * 3 = 9. 。

对于 $i=1$ ；

计算 $left=max(0,\left \lceil \frac{5-3}{3} \right \rceil ),right=\left \lfloor \frac{10-5}{3} \right \rfloor =1$ ,满足条件的 k 有 1 - 0 + 1 = 2个，对应的 b 为 5 + 0 * 3 = 5 和 5 + 1 * 3 = 8.

对于 $i=2$ ；

计算 $left = max()0,\left \lceil \frac{5-3}{3} \right \rceil )=1,right = \left \lfloor \frac{10-3}{3} \right \rfloor =2$ ，满足条件的 k 有 2 - 1 + 1 =2 个，但其中 b = 3 + 1 * 3 =6 和 b = 3 + 2 * 3 = 9 与前面重复，只新增 1 个不重复的 b 。

最终满足条件的 b 的个数为 5 。

###复杂度:

1、时间复杂度：

$O(mod \times n \times log(mod))$ 。

2、空间复杂度：

$O(mod \times n)$ 。

####代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAX = 15;
const int MAN = 5e5 + 5;

struct Node {
	    LL dis;
    int u;
    Node(LL _dis, int _u) : dis(_dis), u(_u) {}
    bool operator>(const Node& other) const {
        return dis > other.dis;
    }
};

int n;
LL l, r;
int a[MAX];
LL dis[MAN];

// 计算区间 [l, r] 内满足条件的 b 的数量
LL c(LL l, LL r, LL base, LL mod) {
    if (base > r) return 0;
    LL left = max(0LL, (l - base + mod - 1) / mod);
    LL right = (r - base) / mod;
    return max(0LL, right - left + 1);
}

int main() {
    cin >> n >> l >> r;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    // 找到最小的非零 a[i] 作为模数
    int mod = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (a[i] > 0 && (mod == 0 || a[i] < mod)) {
            mod = a[i];
        }
    }
    if (mod == 0) {
        cout << (l == 0 && r == 0 ? 1 : 0) << endl;
        return 0;
    }

    // 初始化距离数组
    fill(dis, dis + mod, LLONG_MAX);
    dis[0] = 0;

    // 使用优先队列进行 Dijkstra 算法
    priority_queue<Node, vector<Node>, greater<Node>> pq;
    pq.push(Node(0, 0));

    while (!pq.empty()) {
        Node cur = pq.top();
        pq.pop();
        LL d = cur.dis;
        int u = cur.u;
        if (d > dis[u]) continue;

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (a[i] == 0) continue;
            int v = (u + a[i]) % mod;
            LL N = d + a[i];
            if (N < dis[v]) {
                dis[v] = N;
                pq.push(Node(N, v));
            }
        }
    }

    // 统计满足条件的 b 的数量
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < mod; ++i) {
        ans += c(l, r, dis[i], mod);
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}