C语言中三角与反三角函数的表达

C语言中三角函数与反三角函数的总结与对比

一、三角函数（Trigonometric Functions）

1. 功能
   • 计算角度的三角函数值（输入为弧度）。
2. 常用函数

   函数	数学表示	描述	示例（x = π/4）
   sin(x)	sin⁡(x)	正弦	sin(M_PI/4) ≈ 0.707
   cos(x)	cos⁡(x)	余弦	cos(M_PI/4) ≈ 0.707
   tan(x)	tan⁡(x)	正切	tan(M_PI/4) ≈ 1.0
   sinh(x)	sinh⁡(x)	双曲正弦	sinh(1) ≈ 1.175
   cosh(x)	cosh⁡(x)	双曲余弦	cosh(1) ≈ 1.543
   tanh(x)	tanh⁡(x)	双曲正切	tanh(1) ≈ 0.761

3. 关键点
   • 输入单位转换
     • 输入单位是弧度，若输入为角度需手动转换角度 → 弧度：

       double degrees = 45.0;
       double radians = degrees * (M_PI / 180.0); // 45° → π/4弧度
       

   • M_PI常量
     • M_PI常量可能需要手动定义：

       #ifndef M_PI
       #define M_PI 3.14159265358979323846
       #endif
       

二、反三角函数（Inverse Trigonometric Functions）

1. 功能
   • 计算三角函数的反函数（输出为弧度）。
2. 常用函数

3. 函数	数学表示	描述	输入范围	输出范围（弧度）	示例
   asin(x)	$\sin^{-1}(x)$	反正弦	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$	asin(0.5) ≈ 0.523（即30°）
   acos(x)	$\cos^{-1}(x)$	反余弦	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	acos(0.5) ≈ 1.047（即60°）
   atan(x)	$\tan^{-1}(x)$	反正切	任意实数	$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$	atan(1) ≈ 0.785（即45°）
   atan2(y, x)	$\tan^{-1}(\frac{y}{x})$	四象限反正切	任意实数	$(-\pi,\pi]$	atan2(1, 1) ≈ 0.785（即45°）

4. 关键点
   • 输出单位转换
     • 输出单位是弧度，需手动转换弧度 → 角度：

       double radians = asin(0.5);
       double degrees = radians * (180.0 / M_PI); // 30°
       

   • atan2的优势
     • atan2(y, x)比atan(y/x)更稳定，可正确处理象限和x = 0的情况。

三、对比总结

特性	三角函数（sin/cos/tan）	反三角函数（asin/acos/atan）
输入	弧度（Radians）	三角函数值（如$\sin^{-1}(0.5)$）
输出	三角函数值（如$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$）	弧度（Radians）
常用场景	坐标旋转、波形生成	角度计算、极坐标转换
单位转换	角度 → 弧度：$rad = deg * (\frac{\pi}{180})$	弧度 → 角度：$deg = rad * (\frac{180}{\pi})$
特殊函数	sinh/cosh/tanh（双曲函数）	atan2(y, x)（四象限反正切）

四、完整代码示例

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#ifndef M_PI
#define M_PI 3.14159265358979323846
#endif

int main() {
    // 示例1：计算sin(30°)和arcsin(0.5)
    double deg = 30.0;
    double rad = deg * (M_PI / 180.0);
    printf("sin(30°) = %f\n", sin(rad));      // 输出0.5
    printf("arcsin(0.5) = %f°\n", asin(0.5) * (180.0 / M_PI)); // 输出30°

    // 示例2：四象限反正切atan2
    double y = 1.0, x = -1.0;
    double angle_rad = atan2(y, x);
    double angle_deg = angle_rad * (180.0 / M_PI);
    printf("atan2(1, -1) = %f°\n", angle_deg); // 输出135°（第二象限）

    return 0;
}

五、注意事项

1. 数学库链接
   • 编译时需加 -lm（如gcc prog.c -lm）。
2. 输入/输出范围
   • asin/acos的输入必须在$[-1,1]$之间，否则返回NaN。
   • atan2(y, x)可处理所有实数，包括x = 0的情况。
3. 精度问题
   • 浮点数计算可能存在微小误差（如sin(π)不精确为0）。

掌握这些函数后，可轻松实现几何计算、信号处理、图形学等领域的数学运算！