人工智能之数学基础：奇异值分解SVD

本文重点

奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中的一种重要矩阵分解技术，它将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积，揭示了数据的主要变化方向和强度。广泛应用于信号处理、图像压缩、推荐系统、自然语言处理等领域。

SVD的数学定义

SVD将一个任意m×n的矩阵A分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T。其中，U是一个m×m的正交矩阵，其列向量称为左奇异向量；Σ是一个m×n的对角矩阵，其对角线元素为非负实数，称为奇异值，且按降序排列；V是一个n×n的正交矩阵，其列向量称为右奇异向量。

这一分解具有唯一性（当奇异值按降序排列时），且对于任意矩阵都成立。当A为实矩阵时，U和V为实正交矩阵；当A为复矩阵时，U和V为复酉矩阵。

如何求解？

现在我们想要对一个矩阵A进行奇异值分解，核心就是求出三个矩阵，那么这三个矩阵呢？

假设A为复矩阵，此时U和V为复酉矩阵，不要忘记复酉矩阵的性质。