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人工智能之数学基础:奇异值分解SVD

本文重点

奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是线性代数中的一种重要矩阵分解技术,它将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积,揭示了数据的主要变化方向和强度。广泛应用于信号处理、图像压缩、推荐系统、自然语言处理等领域。

SVD的数学定义

SVD将一个任意m×n的矩阵A分解为三个矩阵的乘积:A=UΣV^T。其中,U是一个m×m的正交矩阵,其列向量称为左奇异向量;Σ是一个m×n的对角矩阵,其对角线元素为非负实数,称为奇异值,且按降序排列;V是一个n×n的正交矩阵,其列向量称为右奇异向量。

这一分解具有唯一性(当奇异值按降序排列时),且对于任意矩阵都成立。当A为实矩阵时,U和V为实正交矩阵;当A为复矩阵时,U和V为复酉矩阵。

如何求解?

现在我们想要对一个矩阵A进行奇异值分解,核心就是求出三个矩阵,那么这三个矩阵呢?

假设A为复矩阵,此时U和V为复酉矩阵,不要忘记复酉矩阵的性质。

http://www.dtcms.com/a/129280.html

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