优先级队列（1）——处理数据流的中位数

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leetcode295——数据流中的中位数

题目解析

题目要求我们设计一个MedianFinder类。该类中存在两个public成员函数，如果在类外调用addNum。就会向类中容器添加一个num。如果调用findMedian。就会返回当前容器中的中位数。

算法原理

如果我们使用vector作为容器，那么我们很容易的就能找到数组的中间的数。

但是一个数组中的中间数，一定就是中位数吗？当然不是了，中位数是在所有数据中，处于中间大小的数，因此一个无序数组的中间数未必是中位数，但是一个有序数组的中间数就是一个中位数了。因此我们的第一个方法就是，每当一个数插入进vector时,我们就让vector进行一次排序，以保持数组的有序性，此时数组中的中位数就很好找了。

但是关于有序数组中的中位数，我们分两种情况进行讨论：

• 1 当数组元素个数是奇数时
• 2 当数组元素个数是偶数时

当数组元素个数是偶数时，我们假设左半数组的元素个数为n，右半数组的元素个数为m。由于是对偶数数组进行折半，因此左右部分的数组元素个数一致，即n==m。

此时中位数为：(nums[n-1]+nums[n])/2

当数组元素个数为奇数时，此时左右数组的个数就不同了，要么左半数组的个数比右半数组多一个，要么反过来，让右半数组比左半数组多一个。我们可以规定让左半数组的个数比右半数组多一个，即n==m+1。

因此此时数组的中位数为nums[n]。

但是一个问题也随之而来，如果我们每次插入一个新的元素，就要进行一次排序，一次排序的时间复杂度为N(logN).如果插入N个数据，那么这个时间复杂度也就来到超过O(N²)的程度。

因此我们需要对插入的排序方法进行优化：
首先，我们要保证在数据插入时，前面的所有数据都是有序的，因此我们可以用二分查找算法找到这个数的插入位置，此时时间复杂度则优化成了O(N)。第二个，我们可以仅对这个元素进行插入排序，此时时间复杂度也优化成了O(N)。

但是这并非是最优化方法，我们可以利用大小堆来完成中位数的查找，首先我们可以回顾一下大堆和小堆的性质，对于大堆，其堆顶元素是堆中所有元素的最大值，对于小堆，其堆顶元素是堆中所有元素的最小值。因此，我们可以用一个大堆，来装左半部分的数组，用一个小堆，来装右半部分的数组。此时我们很容易就能发现，左大堆的堆顶，是左半部分的数组的最大值，右大堆的堆顶，是右半部分数组元素的最小值。

假设左堆的大小为n，右堆的大小为m，根据上面的分析，左堆中的元素个数与右堆的元素个数的关系为：mn或者m+1n。

如果m==n，那么数据流的中位数为(左堆的堆顶+右堆的堆顶)/2。如果m+1==n,那么数据流的中位数为左堆的堆顶。

那么接下来就是左右堆的数据维护问题。根据我们的规定，左堆元素个数总是等于右堆，或者比右堆多一个，而且左堆的堆顶永远不会大于右堆的值。

因此我们可以直接将元素放入左堆，当左堆的元素个数不比右堆的元素个数多两个时，不对左堆进行处理，如果左堆的元素比右堆多两个时，我们让左堆的堆顶元素，插入进右堆。然后删除左堆的堆顶元素。

如果左堆的堆顶比右堆的堆顶大，我们就让左堆的堆顶插入到右堆，让右堆的堆顶插入进左堆，然后让左堆删除堆顶元素，右堆删除堆顶元素。

题解代码

class MedianFinder {
public:
    MedianFinder() {
        
    }
    
    void addNum(int num) {
        l_heap.push(num);
        if(l_heap.size()>r_heap.size()+1) {
            r_heap.push(l_heap.top());
            l_heap.pop();
        }
        while(r_heap.size()&&l_heap.top()>r_heap.top()){
            r_heap.push(l_heap.top());
            l_heap.push(r_heap.top());
            r_heap.pop();
            l_heap.pop();
        }
    }
    
    double findMedian() {
        if(l_heap.size()==r_heap.size()){
            return (l_heap.top()+r_heap.top())/2.0;
        }
        else return l_heap.top();
    }
private:
    priority_queue<int> l_heap;//左堆(大堆)
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> r_heap;//右堆（小堆）
};