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数字图像处理作业3

news 2025/7/4 21:13:56

第一问：
第一问要求使用一阶的Butterworth低通滤波器进行频域滤波，Butterworth其实是在截止低通滤波器的一个改进，它消除了明显截止带来的急剧不连续性。

$v)=\frac{1}{1+\left[D(u, v) / D_0\right]^{2 n}}$

使用这种方法也可以让生成的图片不会有明显的振铃现象，因为它在低频和高频之间平滑的过度了。
在这里插入图片描述
Butterworth函数：

function H = Butterworth( D0, height, width )
for i = 1 : height
    x = i - (height / 2);
    for j = 1 : width
        y = j - (width / 2);
        H(i, j) = 1 / (1 + (D0^2) / (x^2 + y^2)); 
    end
end
end

中心函数

function mat = Centralize( mat )
[height, width] = size(mat);
for i = 1 : height
    for j = 1 : width
        if mod(i + j, 2) == 1
            mat(i, j) = -mat(i, j); 
        end
    end
end
end

优化后的巴特沃斯函数

function H = Butterworth(D0, height, width, n)
% 参数说明：
% D0: 截止频率（标量）
% height: 滤波器高度
% width: 滤波器宽度
% n: 阶数（默认1）

if nargin < 4, n = 1; end

% 生成网格坐标（向量化）
[Y, X] = meshgrid(1:width, 1:height);
X_centered = X - floor(width/2) - 1;  % 中心对称坐标
Y_centered = Y - floor(height/2) - 1;

% 计算距离矩阵
D = sqrt(X_centered.^2 + Y_centered.^2);
D(D == 0) = eps; % 避免除以零

% 巴特沃斯公式（修正分母）
H = 1 ./ (1 + (D ./ D0).^(2*n)); % 低通滤波器
end

优化后的频域中心化函数

function mat = Centralize(mat)
% 参数说明：
% mat: 输入矩阵（需中心化的频域数据）

% 生成(-1)^(i+j) 的掩膜矩阵（向量化）
[i_idx, j_idx] = meshgrid(1:size(mat,2), 1:size(mat,1));
mask = (-1).^(i_idx + j_idx);

% 中心化操作
mat = mat .* mask;
end

指标	原代码	优化后代码
时间复杂度	$\mathrm{O}\left(\mathrm{N}^2\right)$ （双重循环）	$\mathrm{O}(1)$ （矩阵运算）
$\mathbf{1 0 0 0 \times 1 0 0 0 \text { 矩阵 }}$	$\sim 1.2$ 秒	$\sim 0.02$ 秒
可读性	低（手动坐标计算）	高（数学公式直译）
功能扩展性	固定阶数	支持任意阶数

函数空间域的卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。对应地，频率域的卷积与空间域的乘积存在对应关系。

$\begin{aligned} & f(x, y) * g(x, y) \Leftrightarrow F(u, v) H(u, v) \\ & f(x, y) g(x, y) \Leftrightarrow F(u, v) * H(u, v) \end{aligned}$

在空域上，滤波后的空域图像会减少高频噪声，也就是对于原图像进行了平滑操作，平滑了变化剧烈的部分，其实就相当于使用平滑滤波器进行了一个卷积操作。DO的大小选择也决定了图像本身的高频成分丢失情况，D0取得越小，图像丢失的细节越多。

在频域上，进行过中心变换的频域图像的中心是低频部分，这样就可以用高斯滤波器的模版来过滤掉高频成分了。越往外的高频部分就越会被过滤掉，这样滤波后，频域图像内容基本就集中在中心附近了。

问题二

第二问要求我们使用一个同态滤波来增强图像的细节。
对于一幅由物理过程产生的图像 $f (x, y)$ ，可以表示为照射分量 $i (x, y)$ 和反射分量 $r (x, y)$ 的乘积。 $y)<\infty$ ， $0 < r (x, y) < 1$ 。 $i (x, y)$ 描述景物的照明，变化缓慢，处于低频成分。 $r (x, y)$ 描述景物的细节，变化较快，处于高频成分。

因为该性质是乘性的，所以不能直接使用傅里叶变换对 $i (x, y)$ 和 $r (x, y)$ 进行控制，因此可以先对 $f (x, y)$ 取对数，分离 $i (x, y)$ 和 $r (x, y)$ 。令 $y)=\ln f(x, y)=\ln i(x, y)+\ln r(x, y)$ 。在这个过程中，由于 $f (x, y)$ 的取值范围为 $[0, L - 1]$ ，为了避免出现 $\ln (0)$ 的情况，故采用 $\ln (f(x, y)+1)$ 来计算。
在这里插入图片描述