【算法】筛质数

埃氏筛法

算法原理

算法思想就像"筛子"一样，把合数筛掉，剩下的就是质数：

1. 从2开始，依次检查每个数
2. 如果当前数未被标记为合数，它就是质数
3. 然后把这个质数的所有倍数都标记为合数
4. 重复这个过程直到检查完所有数

注意：从i²开始标记：对于质数i，比i²小的倍数（如i×2, i×3,…, i×(i-1)）已经被更小的质数标记过了，所以可以从i²开始。

代码

#include <iostream>
using namespace std;


typedef long long LL;
const int N = 1e6+10;
int check[N];     //真为合数 -- 被划掉的数
int prim[N];    //记录质数
int cnt = 0;        //质数个数


void aishishai(int n)
{
    for(LL i = 2;i<=n;i++)
    {
        //没被划掉
        if(!check[i])
        {
            prim[++cnt] = i;
            for(LL j = i*i;j<=n;j+=i)
                check[j] = 1;
        }
        
    }
}

int main()
{
    int n;cin >> n;
    aishishai(n);
    cout << cnt;
    
    return 0;
}

欧拉筛法

算法原理

从小到大枚举每个数

• 如果当前数没划掉，记录该质数
• 枚举已经记录的质数（如果合数已越界则中断）
  • 合数未越界，则划掉合数
  • 条件i%p == 0，保证合数只被最小质因子划掉
    • 若i是质数，则最多枚举到自身中断
    • 若i是合数，则最多枚举到自身的最小质因子中断

代码

#include <iostream>
using namespace std;


typedef long long LL;
const int N = 1e6+10;
int check[N];     //真为合数 -- 被划掉的数
int prim[N];    //记录质数
int cnt = 0;        //质数个数

//欧拉筛
void get_prim(int n)
{
    for(int i  = 2;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i]) prim[++cnt] = i;
        for(int j =1;1ll * i*prim[j] <=n;j++) //越界中断
        {
            check[i*prim[j]] = 1;
            if(i%prim[j] == 0) break;//整除中断
        }
    }
}

int main()
{
    int n;cin >> n;
    get_prim(n);
    cout << cnt;
    
    return 0;
}