【多元线性回归的核心算法：深入解析最小二乘法原理】

---

前言

  在一元线性回归模型中，我们针对仅含单一自变量 $X$ 与因变量 $Y$ 之间存在线性关系的数据进行建模，得到形式为 $Y={\beta }_0+{\beta }_{1}X+ϵ$ 的回归方程，其中 ${\beta }_0$ 是截距项， ${\beta }_1$ 是斜率系数，而 $ϵ$ 代表误差项。然而，在诸多实际应用场景中，影响结果 $Y$ 的因素往往不止一个。以房价 $Y$ 为例，它可能受到房屋面积 $X_1$ ，所在城市 $X_2$ ，具体地区 $X_3$ ，周边配套设施 $X_4$ ，交通情况 $X_5$ 等多个自变量（或特征）的共同影响。为了对这类复杂问题进行准确预估，我们需要综合考虑这些多个因素，即采用多元线性回归模型，其一般形式可表示为 $Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+{\beta }_3{X}_3+{\beta }_4{X}_4+{\beta }_5{X}_5+ϵ$ ，其中每个 ${\beta }_i(i=0,1,\dots ,5)$ 代表对应自变量的系数，而 $ϵ$ 代表误差项。

---

一、定义

  在机器学习和实际生活应用中，我们经常需要处理具有多个特征的样本。每个样本都包含 $n$ 个特征属性，每个特征 $x_n$ 都对应一个权重值 $w_n$ 。与一元线性回归方程类似，我们可以写出多元线性回归方程的一般形式：
$$\begin{array}{l}y=w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+\dots +w_k{x}_k\end{array}$$

同样地，为了表示线性模型中无法解释的部分，我们在方程后面加上一个误差项 $\epsilon$ 。然而，在实际计算中，我们通常忽略这一部分，专注于求解权重向量 $w$ 。

  由于多元线性回归的变量更多，为了方便计算，我们可以将方程写成矩阵的形式。首先，我们定义权重向量 $w$ 和特征向量 $X$ 如下：
$$\begin{array}{l}w=\left[\begin{array}{c}{w}_0\\ w_1\\ ⋮\\ w_k\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}1\\ x_1\\ ⋮\\ x_k\end{array}\right]\end{array}$$

注意，这里我们令 $x_0=1$ ，这样 $w_0{x}_0$ 就对应了函数中的常数项，即 $y$ 轴上的截距，类似于一元线性回归方程中的截距 $b$ 。

  现在，我们可以将多元线性回归方程写成矩阵形式的内积：
$$\begin{array}{l}y=w^{T}X\end{array}$$其中， $w^T$ 是权重向量 $w$ 的转置。为了求解权重向量w，我们通常会使用最小二乘法。最小二乘法的目标是找到一组权重值，使得预测值与实际观测值之间的差异（即残差）的平方和最小。这可以通过求解线性方程组或优化问题来实现。

  在实际应用中，我们可能会使用各种数值方法和优化算法来求解最小二乘问题，例如梯度下降法、正规方程法等。这些方法的选择取决于数据的规模、特征的数量以及计算资源的可用性。总之，多元线性回归是一种强大的工具，可以帮助我们理解和预测具有多个特征的数据集。通过将方程写成矩阵形式，我们可以更方便地进行计算和优化。

二、多元线性回归中最小二乘法参数计算原理

1.最小二乘法

  在多元线性回归中，我们的目标是找到一个线性模型，该模型能够最小化预测值与真实值之间的误差。为了量化这种误差，我们采用损失函数，它计算了每个样本点的预测值与实际值之间平方差的一半。

对于第 $i$ 个样本点，其损失函数表示为：
$$\begin{array}{l}l\left(x^{(i)}\right)=\frac{1}{2}{\left[h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right]}^2\end{array}$$其中， $h\left(x^{(i)}\right)$ 是样本点的预测值，由多元线性回归模型 $h(x)=w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+\dots +w_k{x}_k$ 给出； $x^{(i)}$ 和 $y^{(i)}$ 分别是第 $i$ 个观察样本的自变量值和实际结果值。损失函数中的系数 $\frac{1}{2}$ 是为了简化后续的计算，特别是求导时消去常数因子。

将所有样本点的损失函数相加，我们得到整体情况下的代价函数：
$$\begin{array}{l}J(w)=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n{\left[h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right]}^2\end{array}$$这里， $w=\left(w_0,w_1,w_2,\dots ,w_k\right)$ 是模型的权重向量，我们的目标是找到一组权重值，使得代价函数 $J(w)$ 最小。为了找到这个最小值点，我们使用最小二乘法。具体来说，我们对代价函数 J(w) 关于每个权重 $w_j（j=0,1,2,\dots ,k)$ 求偏导数，并令这些偏导数等于$0$ 。即：
$$\begin{array}{l}\frac{\partial J(w)}{\partial w_i}=0\end{array}$$对于所有的 $j$ ，上述方程构成了一个方程组，解这个方程组可以找到使代价函数 $J(w)$ 最小的权重向量 $w$ 。这个过程就是最小二乘法在多元线性回归中的参数求解原理。具体过程如下：
$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}J(w)=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n{\left[h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right]}^2=\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n{\left(w_0+w_1{x}_1^{(i)}+w_2{x}_2^{(i)}+\dots +w_k{x}_k^{(i)}-y^{(i)}\right)}^2\\ \{\begin{array}{c}\frac{\partial J}{\partial w_0}={\sum }_{i=1}^n\left(w_0+w_1{x}_1^{(i)}+\cdots +w_k{x}_k^{(i)}-y^{(i)}\right)=0\\ \frac{\partial J}{\partial w_1}={\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}\left(w_0+w_1{x}_1^{(i)}+\cdots +w_k{x}_k^{(i)}-y^{(i)}\right)=0\\ ⋮\\ \frac{\partial J}{\partial w_k}={\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}\left(w_0+w_1{x}_1^{(i)}+\cdots +w_k{x}_k^{(i)}-y^{(i)}\right)=0\end{array}\end{array}\end{array}$$

整理后得到
$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{w}_{0}n+w_1{\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}+w_2{\sum }_{i=1}^n{x}_2^{(i)}+\cdots +w_k{\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}={\sum }_{i=1}^n{y}^{(i)}\\ w_0{\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}+w_1{\sum }_{i=1}^n{\left(x_1^{(i)}\right)}^2+w_2{\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}{x}_2^{(i)}+\cdots +{\hat{w}}_k{\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}{x}_k^{(i)}={\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}{y}^{(i)}\\ ⋮\\ w_0{\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}+w_1{\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{x}_1^{(i)}+w_2{\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{x}_2^{(i)}+\cdots +w_k{\sum }_{i=1}^n{\left(x_k^{(i)}\right)}^2={\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{y}^{(i)}\end{array}\end{array}$$

接下来，我们计算 ：
$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{X}^{T}X=\left[\begin{array}{ccccc}{\sum }_{i=1}^{n}1& {\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_i^{(i)}& \cdots & {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{\left(x^{(i)}\right)}^2& {\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}{x}_2^{(i)}& \cdots & {\sum }_{i=1}^n{x}_{i=1}^{(i)}{x}_k^{(i)}\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_2^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_2^{(i)}{x}_1^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{\left(x_2^{(i)}\right)}^2& \cdots & {\sum }_{i=1}^n{x}_2^{(i)}{x}_k^{(i)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{x}_1^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{x}_2^{(i)}& \cdots & {\sum }_{i=1}^n{\left(x_k^{(i)}\right)}^2\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{ccccc}n& {\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_i^{(i)}& \cdots & {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_{i(i)}^{(i)}{x}_i^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}{x}_2^{(i)}& \cdots & {\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}{x}_k^{(i)}\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_2^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_2^{(i)}{x}_1^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_2^{(1)}{x}_2^{(i)}& \cdots & {\sum }_{i=1}^n{x}_2^{()}{x}_k^{(i)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{x}_1^{(i)}& {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{x}_2^{(i)}& \cdots & {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{x}_k^{(i)}\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$
为了方便表示，将其改写为矩阵的形式
$$\begin{array}{l}{X}^{T}Xw=X^{T}Y\end{array}$$

其中 $X$ 为 $n$ 行 $k+1$ 列的矩阵
$$\begin{array}{l}X=\left[\begin{array}{cccccc}1& x_1^{(1)}& x_2^{(1)}& x_3^{(1)}& \dots & x_k^{(1)}\\ 1& x_1^{(2)}& x_2^{(2)}& x_3^{(2)}& \dots & x_k^{(2)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& x_1^{(n)}& x_2^{(n)}& x_3^{(n)}& \dots & x_k^{(n)}\end{array}\right]\end{array}$$
$$\begin{array}{l}{X}^{T}Y=\left[\begin{array}{c}{\sum }_{i=1}^n{y}^{(i)}\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_1^{(i)}{y}^{(i)}\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_2^{(i)}{y}^{(i)}\\ ⋮\\ {\sum }_{i=1}^n{x}_k^{(i)}{y}^{(i)}\end{array}\right]\end{array}$$
$w$ 为 $k+1$ 行列的矩阵，$Y$ 为 $n$ 行1列的矩阵。
$$\begin{array}{l}w=\left[\begin{array}{c}{w}_0\\ w_2\\ ⋮\\ w_k\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{c}{y}^{(1)}\\ y^{(2)}\\ ⋮\\ y^{(n)}\end{array}\right]\end{array}$$

而理论情况下我们每个自变量 $x$ 是相互独立的，从而 $X$ 线性无关，故 $X^{T}X$ 为可逆矩阵，解得：
$$\begin{array}{l}w={\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^{T}Y\end{array}$$这个结果也被称为正规方程，求解的方法称为正规方程法。

2.最小二乘法矩阵运算

1．代价函数 $J(w)$ 的矩阵形式
给定数据集 $X$ 和标签 $Y$ ，线性回归的代价函数 $J(w)$ 可以表示为：
$$\begin{array}{l}J(w)=\frac{1}{2}(Xw-Y{)}^2=\frac{1}{2}(Xw-Y{)}^T(Xw-Y)\end{array}$$

这里 $X$ 是设计矩阵， $w$ 是权重向量， $Y$ 是目标向量。
2．展开代价函数
根据矩阵的转置运算规则 $(A+B{)}^T=A^T+B^T$ ，我们可以展开 $J(w)$ ，有：
$$\begin{array}{l}(Xw-Y{)}^T=w^T{X}^T-Y^T\end{array}$$

故
$$\begin{array}{l}J(w)=\frac{1}{2}(Xw-Y{)}^T(Xw-Y)=\frac{1}{2}\left(w^T{X}^T-Y^T\right)(Xw-Y)\end{array}$$
$$\begin{array}{l}J(w)=\frac{1}{2}\left(w^T{X}^{T}Xw-w^T{X}^{T}Y-Y^{T}Xw+Y^{T}Y\right)\end{array}$$

3．对代价函数求导
为了找到 $w$ 的最优值，我们需要对 $J(w)$ 求导。根据矩阵微分公式，我们有：
$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\begin{array}{c}\frac{\partial X^{T}A}{\partial X}=\frac{\partial A^{T}X}{\partial X}=A\\ \frac{\partial X^{T}AX}{\partial X}=\left(A+A^T\right)X\end{array}\end{array}\end{array}$$

其中 $A$ 是对称矩阵。
应用这些公式到 J(w) 上，我们得到：
$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\begin{array}{rl}\frac{\partial J(w)}{\partial w}& =\frac{1}{2}\frac{\partial \left(w^T{X}^{T}Xw-w^T{X}^{T}Y-Y^{T}Xw+Y^{T}Y\right)}{\partial w}\\ & =\frac{1}{2}\left[\frac{\partial w^T{X}^{T}Xw}{\partial w}-\frac{\partial w^T{X}^{T}Y}{\partial w}-\frac{\partial Y^{T}Xw}{\partial w}\right]\\ & =\frac{1}{2}\left[\left(X^{T}X+X^{T}X\right)w-X^{T}Y-X^{T}Y\right]\\ & =X^{T}Xw-X^{T}Y\end{array}\end{array}\end{array}$$由于 $X^{T}X$是对称矩阵，所以 ${\left(X^{T}X\right)}^T=X^{T}X$ 。同时， ${\left(Y^{T}X\right)}^T=X^{T}Y$ 。
4．求解最优权重 $w$
令 $\frac{\partial J(w)}{\partial w}=0$ ，我们得到：
$$\begin{array}{l}\begin{array}{l}{X}^{T}Xw-X^{T}Y=0\\ X^{T}Xw=X^{T}Y\end{array}\end{array}$$

如果 $X^{T}X$ 是正定矩阵（即满秩且所有特征值均大于$0$ ），则它是可逆的。因此，我们可以解出 $w$ ：
$$\begin{array}{l}w={\left(X^{T}X\right)}^{-1}{X}^{T}Y\end{array}$$

5．讨论与优化
  当 $X^{T}X$不可逆时（例如，当特征数量大于样本数量时），我们不能直接使用上述公式。此时，可以考虑使用正则化方法（如岭回归或套索回归）来使矩阵可逆。
  当特征数量 $n$ 较大时，求逆运算的代价非常高。在这种情况下，梯度下降法或其他优化算法通常更为高效。
6．梯度下降法简介
  梯度下降法是一种迭代优化算法，用于找到函数的局部最小值。在每次迭代中，它都会沿着梯度（即函数值增加最快的方向）的负方向更新参数。对于线性回归问题，梯度下降法可以表示为：
$$\begin{array}{l}{w}_{\text{new }}=w_{\text{old }}-\alpha \frac{\partial J(w)}{\partial w}\end{array}$$

其中 $\alpha$ 是学习率（一个正数），用于控制每次更新的步长。通过多次迭代，梯度下降法可以逐渐逼近最优解。

总结

  以上就是今天要讲的内容，本文探讨了多元线性回归模型的核心算法——最小二乘法原理。多元线性回归模型是在实际应用中广泛使用的统计方法，特别适用于预测一个连续的目标变量与多个自变量之间的关系。通过对这些关系的线性建模，我们能够更好地理解和预测复杂现象。