【动态规划】最长上升子序列模板

最长上升子序列

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一、题目描述

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式
输出一个整数，表示最大长度。

数据范围
1 ≤ N ≤ 1000，
−10⁹ ≤ 数列中的数 ≤ 10⁹

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

二、题目分析

我们需要找到一个序列中最长的严格递增的子序列的长度。子序列不要求连续，但必须保持原序列中的相对顺序。

三、问题思考

算法分析：
这是一个经典的动态规划问题。我们需要找到以每个元素结尾的最长上升子序列的长度，然后取所有可能中的最大值。

前置知识：

• 动态规划基本概念
• 数组遍历和状态转移

四、动态规划思路

a. 状态表示

• 定义 f[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长上升子序列的长度。

b. 初始化

• 每个元素本身就是一个长度为1的子序列，所以初始时 f[i] = 1。

c. 状态转移

• 对于每个 i，我们检查所有 j < i 的元素：
  • 如果 a[i] > a[j]，说明 a[i] 可以接在 a[j] 后面，形成更长的子序列。
  • 因此，f[i] = max(f[i], f[j] + 1)。

d. 最终结果

• 最终结果是所有 f[i] 中的最大值。

五、代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n;
int a[N], f[N];
int res;

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i] = 1; // 初始化为1，因为每个元素本身就是一个子序列
        for (int j = 1; j < i; j++)
            if (a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1); // 状态转移
        res = max(res, f[i]); // 更新最大值
    }
    printf("%d", res);
    return 0;
}

六、重点细节

1. 初始化：每个 f[i] 初始化为1，因为每个元素本身就是一个长度为1的子序列。
2. 状态转移：内层循环遍历所有 j < i 的元素，如果 a[i] > a[j]，则更新 f[i]。
3. 结果更新：每次计算完 f[i] 后，立即更新全局最大值 res。

七、复杂度分析

• 时间复杂度：O(N²)，因为有两层嵌套循环，外层循环 N 次，内层循环最多 N 次。
• 空间复杂度：O(N)，用于存储数组 a 和 f。

八、总结

本题是一个经典的动态规划问题，通过定义状态 f[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长上升子序列的长度，然后通过状态转移逐步求解。最终结果是所有 f[i] 中的最大值。这种方法直观且易于理解，适合初学者掌握动态规划的基本思想。