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【动态规划】二分优化最长上升子序列

news 2025/7/9 15:22:45

最长上升子序列 II 题解

题目传送门：AcWing 896. 最长上升子序列 II

一、题目描述

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式：

第一行包含整数 N
第二行包含 N 个整数，表示完整序列

输出格式：

输出一个整数，表示最大长度

数据范围：

1 ≤ N ≤ 100000
-10⁹ ≤ 数列中的数 ≤ 10⁹

二、题目分析

这道题要求我们找到一个序列中最长的严格递增子序列的长度。与普通的最长上升子序列问题不同，本题的数据范围较大（N ≤ 1e5），因此需要使用优化的算法。

三、解题思路

传统的动态规划解法时间复杂度为O(n²)，对于n=1e5的情况会超时。我们需要使用贪心+二分的方法将时间复杂度优化到O(nlogn)。

基本思路是维护一个数组a，其中a[i]表示长度为i+1的上升子序列的最小末尾元素。对于每个元素，我们使用二分查找来确定它应该插入的位置，从而保持数组a的单调性。

四、算法讲解

算法原理

贪心思想：我们希望上升子序列尽可能长，因此需要让序列上升得尽可能慢，即每次在上升子序列最后加上的数尽可能小。
单调性：数组a是一个严格递增的数组，这保证了我们可以使用二分查找。
二分查找：对于每个新元素，如果它大于数组a的最后一个元素，则直接添加到末尾；否则，使用二分查找找到第一个大于等于它的位置并替换。

算法实现步骤

初始化空数组a和计数器cnt=0
遍历输入序列中的每个元素x：
- 如果x大于a的最后一个元素，直接添加到a末尾，cnt加1
- 否则，使用二分查找找到a中第一个大于等于x的位置，并用x替换该位置的值
最终cnt即为最长上升子序列的长度

例子讲解

以输入样例为例：

7
3 1 2 1 8 5 6

处理过程：

3 → [3], cnt=1
1 → [1], cnt=1 (替换3)
2 → [1,2], cnt=2
1 → [1,2], cnt=2 (1替换1，无变化)
8 → [1,2,8], cnt=3
5 → [1,2,5], cnt=3 (替换8)
6 → [1,2,5,6], cnt=4

最终结果为4。

五、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N];
int cnt = 0, f[N];

// STL大法
void solve1()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        if (cnt == 0 || a[cnt - 1] < x)
            a[cnt++] = x;
        else
            *lower_bound(a, a + cnt, x) = x; // 使用STL的lower_bound找到第一个≥x的位置并替换
    }
    cout << cnt;
}

// 手写二分
void solve2()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        if (cnt == 0 || a[cnt - 1] < x)
            a[cnt++] = x;
        else
        {
            int l = -1, r = cnt + 1;
            while (l + 1 != r) // 二分查找第一个≥x的位置
            {
                int mid = l + r >> 1;
                if (a[mid] < x)
                    l = mid;
                else 
                    r = mid;
            }
            a[r] = x; // 替换该位置的值
        }
    }
    cout << cnt;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    // solve1();
    solve2();
    return 0;
}