人工智能之数学基础:基于吉文斯变换完成矩阵的QR分解

本文重点

在数值线性代数中，QR分解是将矩阵分解为一个正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵（R）的重要方法。它在求解线性方程组、计算矩阵特征值及最小二乘问题中具有广泛应用。吉文斯变换（Givens Transformation）作为实现QR分解的核心工具之一，通过平面旋转变换逐步消去矩阵元素，具有灵活性和数值稳定性。在前面的课程中，我们通过学习了平面旋转变换（吉文斯变换），本节课程中我们将对其进行应用，使用平面旋转变换来完成矩阵的分解任务。

QR分解定义

首先要求一个矩阵必须是非奇异的矩阵，这个是前提，只要它是非奇异矩阵，那么它就一定拥有有限个正交矩阵的乘积P，这个P可以将矩阵A变为可逆的上三角矩阵R，此时就PA=R，可以推出A=QR，其中Q为p的逆矩阵。

吉文斯变换完成矩阵的QR分解的实例

通过吉文斯变换完成矩阵的分解和之前的初等反射矩阵完成QR分解的思想是一致的，核心是逐渐对矩阵的每一列通过吉文斯变换进行处理