组合数学——排列与组合

2.1基本原则

2.1.1加法原则

事件A有m种可能，事件B有n种可能，则事件A和B一共有m+m种可能。

定理 2.1.1

设 $A,B$ 为有限集，且 $A\cap B=\varnothing$，则
$$|A\cup B|=|A|+|B|$$

推论 2.1.1

设 $n$ 个有限集合 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 满足
$$A_i\cap A_j=\varnothing (1\le i\ne j\le n),$$
则
$$\left|\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right|=\sum _{i=1}^n\left|A_i\right|.$$

2.1.2乘法原则

事件A有m种可能，事件B有n种可能，则A发生后B发生的可能有mn种。

定理 2.1.2

设 $A,B$ 是两个有限集合，$|A|=m$，$|B|=n$，则
$$|A\times B|=|A|\times |B|=m\cdot n.$$

推论 2.1.2

设 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 为 $n$ 个有限集合，则
$$|A_1\times A_2\times \cdots \times A_n|=|A_1|\times |A_2|\times \cdots \times |A_n|.$$

2.1.3减法原则

设集合 $A$ 是集合 $U$ 的子集合， A ‾ = { x ∣ x ∈ U  且  x ∉ A } \overline{A} = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\} A={x∣x∈U 且 x∈/A} 是 $A$ 的补集合，则 $\overline{A}$ 中的元素个数为
$$|\overline{A}|=|U|-|A|.$$

2.1.4除法原则

事件A有m种可能，把A分成K类不相交的等量子集，则每类中有m/k种可能。

例题

1. 比5400大的四位整数中，数字2,7不出现，且各位数字不同的整数有多少个?

解答步骤：

1. 确定四位数的范围：比5400大的四位数为5401至9999。
2. 排除数字2和7，并确保各位数字不同。

分情况讨论：

情况1：千位为5

• 百位为4：

  • 十位和个位可选数字：0、1、3、6、8、9（排除5、4、2、7）。
  • 十位有6种选择，个位有5种选择，共 $6\times 5=30$ 种。

• 百位为6、8、9（各3种选择）：

  • 十位和个位可选数字：排除5、当前百位、2、7后剩余6个数字。
  • 每位选择：$6\times 5=30$ 种/百位，共$3\times 30=90$ 种。

• 总计：$30+90=120$ 种。

情况2：千位为6、8、9（共3种选择）

• 剩余三位从7个可用数字（排除千位、2、7）中选取且不重复。
• 排列数：$P(7,3)=7\times 6\times 5=210$ 种/千位。
• 总计：$3\times 210=630$ 种。

最终结果：
将两种情况的数目相加，总共有
$$\boxed{750}$$
个符合条件的四位数。

2. 12个人围坐在圆桌旁，其中一个拒绝与另一个相邻，问有多少种安排方法?

**解答步骤： **

1. 计算圆桌排列总数：
   由于圆排列的对称性，固定一人的位置后，剩余11人可自由排列，总数为
   $$(12-1)!=11!$$

2. 计算A和B相邻的情况：
   将A和B视为一个整体，形成“块”，此时共有11个“元素”（包含其他10人和这个“块”）。圆排列数为：
   $$(11-1)!=10!$$
   但A和B在“块”内可互换位置，因此需乘以2，总相邻情况为：
   $$2\times 10!$$

3. 排除相邻情况：
   符合条件的排列数为总排列数减去相邻情况：
   $$11!-2\times 10!=10!\times (11-2)=9\times 10!$$

最终答案：
$$\boxed{9\times 10!}$$
（数值结果为 $9\times 3628800=32659200$ 种）