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有额外限制的 bellman_ford 算法

news 来源：原创 2025/5/15 3:31:04

题目链接

1.有限制的 $Bellman\_Ford$

时间复杂度: $O (N * M)$

在传统的 $Bellman\_Ford$ 中，可以处理边数不大于 $K$ 条边的最短距离
但我们只要加一条限制(实际上只多了两行代码)
就可以实现求恰好等于 $K$ 条边的最短距离
具体的就在于其核心代码中:

 for(int i = 0; i < k; i ++ )    //最大经过几条边就迭代几次
    {           
        memcpy(backup, dist, sizeof dist);
        for(int j = 0; j < m; j ++ )    //遍历所有边更新最短路
        {
            int a = edge[j].a, b = edge[j].b, w = edge[j].w;
            dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);  //每次更新到顶点b的边
        }
    }

其中为什么要拷贝一份 $d i s t$ 数组就不解释了
我们只要将上述代码改为:

    for (int i = 0; i < k; i++) {
        memcpy(backup, d, sizeof(d));
        //与最多经过k条边这里不同！
        memset(d, 0x3f, sizeof(d)); //add
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, c = edges[j].c;
            //与最多经过k条边这里不同！
            d[b] = min(d[b], backup[a] + c);
            d[a] = min(d[a], backup[b] + c);//add，可以与上面的交换位置
        }
    }

最大的不同在于我们拷贝完 $d i s t$ 数组之后，反手将 $d i s t$ 数组初始化为正无穷了
这样在下一次松弛操作的时候，我们就必须进行松弛了，因为任何数肯定小于这个正无穷
只不过在松弛的时候，不仅要松弛 $d s i t [b]$ ，还要松弛 $d i s t [a]$
注意经过的边虽然满足恰好 $K$ 条，但是可能会有重复的边！

#pragma GCC optimize(2) //累了就吸点氧吧~

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>

using namespace std;

const int N = 210, M = 1000010;

int n, m, st, en, k;
int dist[N], backup[N];
unordered_map<int, int> id;
struct Edge{//Bellman_Ford的数据结构为三元组
    int a, b, c;
}edge[M];

int Bellman_Ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[id[st]] = 0;
    
    for(int i = 0; i < k; i ++ )
    {
        memcpy(backup, dist, sizeof dist);//是在外层循环copy的!!!
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        for(int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edge[j].a, b = edge[j].b, c = edge[j].c;
            dist[b] = min(dist[b], backup[a] + c);
            dist[a] = min(dist[a], backup[b] + c);
        }
    }
    return dist[id[en]];
}

int main()
{
    cin >> k >> m >> st >> en;
    if(!id.count(st))   id[st] = ++ n;
    if(!id.count(en))   id[en] = ++ n;
    
    for(int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a, b, c;
        cin >> c >> a >> b;//这道题比较恶心,需要先读入边长
        if(!id.count(a)) id[a] = ++ n;
        if(!id.count(b)) id[b] = ++ n;
        edge[i] = {id[a], id[b], c};
    }
    
    // cout << n << endl;
    // for(int i = 1; i <= n; i ++ )   cout << dist[i] << " \n"[i == n];
    
    cout << Bellman_Ford() << endl; 
    return 0;
}