[特殊字符] 2025蓝桥杯备赛Day11——P11041 [蓝桥杯 2024 省 Java B] 报数游戏

🔍 2025蓝桥杯备赛Day11——P11041 [蓝桥杯 2024 省 Java B] 报数游戏

🚀 题目速览

题目难度：⭐️⭐️⭐️（需要数论与二分法结合）

考察重点：容斥原理、二分搜索、最小公倍数计算

（当然也可以直接用数学知识做题，判断并记录偶数次数，24 * 2 * 偶数次数，也就是暴力枚举，代码好像不行，用excel）

题目描述

小蓝和朋友们在玩一个报数游戏。由于今年是 $2024$ 年，他们决定要从小到大轮流报出是 $20$ 或 $24$ 倍数的正整数。前 $10$ 个被报出的数是：$20,24,40,48,60,72,80,96,100,120$。请问第 $202420242024$ 个被报出的数是多少？

这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只输出这个整数，填写多余的内容将无法得分。

输入格式

本题无输入。

输出格式

一行一个整数，表示你算出的答案。

🔥 解法：暴力枚举

🛠️ 实现思路

核心逻辑：

1. 从小到大遍历每个正整数
2. 检查当前数是否为20或24的倍数
3. 统计满足条件的数直到找到第N个

缺陷：

• 时间复杂度为 O(K)（K为最终结果值），当N=2e12时完全不可行
• 仅适用于极小的N值（如N≤1e5）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long N = 202420242024;

int main(){
    // 计算从1到N的偶数数量
    long long count = 0;
    
    for(int i=1;i<=N;i++){
  	  if(N%2==0) count++; 	
	}
    
    // 根据提供的公式计算n
    long long n = 2 * count * 24;
    
    // 输出n=2429042904288
    cout << n << endl;
    
    return 0;
}

🔥 最优解法：二分法 + 容斥原理

🛠️ 实现思路

核心数学工具：

1. 容斥原理：计算范围内20或24的倍数的总数
2. 二分法：快速定位第N个数的值

关键公式：

 count(x) = x//20 + x//24 - x//120

其中120是20和24的最小公倍数（LCM）。

代码实现

#include <iostream>
#include <numeric>  // 包含gcd函数
using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    const ll N = 202420242024LL;
    ll low = 1, high = 20 * N;  // 初始二分边界
    const ll lcm_20_24 = 20 * 24 / gcd(20, 24);  // LCM(20,24)=120

    while (low < high) {
        ll mid = low + (high - low) / 2;  // 防止溢出
        ll cnt = mid/20 + mid/24 - mid/lcm_20_24;

        if (cnt < N) low = mid + 1;  // 不足目标数量，抬高下界
        else high = mid;             // 满足条件，压低上界
    }
    cout << low;  // 输出结果
    return 0;
}

📚 核心知识点解析

一、容斥原理应用

项	计算方式	说明
20的倍数数量	x // 20	每20个数出现一次
24的倍数数量	x // 24	每24个数出现一次
公倍数数量	x // 120	120是LCM(20,24)=120
有效总数	20倍 + 24倍 - 公倍数	避免重复计数

二、二分法优化

步骤	操作	时间复杂度
初始化边界	low=1, high=20*N	O(1)
二分循环	每次将搜索范围减半	O(logN)
最终定位	当low==high时即为答案	O(1)

三、暴力枚举的局限性

维度	说明
时间复杂度	O(K)（K≈2e12时需数十年计算）
内存消耗	O(1)
适用场景	仅用于教学演示或极小的N值（如N≤1e5）

🚨 易错点警示

1. LCM计算错误

   # 错误：直接相乘未除GCD
   lcm = 20 * 24  # 得到480（正确应为120）
   # 正确计算方式
   from math import gcd
   lcm = 20 * 24 // gcd(20, 24)
   

2. 二分边界设置不足

   Pythonhigh = 20 * n  # 可能不够大
   # 安全设置
   high = 2 * 10**30  # 足够覆盖所有可能情况
   

🔥 双解法对比分析

维度	二分法（解法二）	暴力枚举（解法一）
时间复杂度	O(logN)（约40次循环）	O(K)（无法完成N=2e12的计算）
空间复杂度	O(1)	O(1)
适用数据规模	任意规模（推荐）	仅限N≤1e5
工程价值	竞赛标准解法	仅用于教学展示
实现难度	需理解数论原理	逻辑简单但无法实际应用