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永磁同步电机模型第三篇之两相电机坐标变换

news 来源：原创 2025/5/22 23:50:46

文章目录

  • 前言
  • 磁链方程
  • 电压方程
  • 结论

前言

本文主要介绍两相永磁电机模型的坐标变化极其推导过程。本文主要参考资料：

R.Krishnan.永磁无刷电机及其驱动技术.机械工程出版社

根据上一篇博客<永磁同步电机模型第二篇之两相电机实时模型>，可以得到如下两相永磁同步电机的在静止坐标系下的模型：

电压方程为：
[ V a V b ] = [ R 0 0 R ] [ i a i b ] + d d t [ λ a λ b ] \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_a\\ %第一行元素 V_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix} [Va​Vb​​]=[R0​0R​][ia​ib​​]+dtd​[λa​λb​​]

磁链方程为：
[ λ a λ b ] = [ L a L m L m L b ] [ i a i b ] + λ f [ cos θ sin θ ] = [ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ ] [ i a i b ] + λ f [ cos θ sin θ ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_{a}&L_{m}\\ %第一行元素 L_{m}&L_{b}\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [λa​λb​​]​=[La​Lm​​Lm​Lb​​][ia​ib​​]+λf​[cosθsinθ​]=[L1​−L2​cos2θ−L2​sin2θ​−L2​sin2θL1​+L2​cos2θ​][ia​ib​​]+λf​[cosθsinθ​]​

可以知道，磁链方程中的参数依赖转子的位置，尽管目前计算能力越来越强大，但是求解上述方程依然相当繁琐，而且从上述方程中也无法洞悉到电机的动态性能。这篇博客任务就是，通过变换，消除方程中对转子位置的依赖。

可以借助博客<永磁同步电机模型第一篇之坐标变换>中的2s/2r变换。
在这里插入图片描述

磁链方程

首先可以得到：
[ λ d λ q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [λd​λq​​]​=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​]​
以及：
[ i a i b ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] − 1 [ i d i q ] = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [ia​ib​​]​=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]−1[id​iq​​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​]​
综上，可以推知：
[ λ d λ q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] ( [ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ ] [ i a i b ] + λ f [ cos θ sin θ ] ) = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] + λ f [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ cos θ sin θ ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}& = \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \right)\\&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ \end{aligned} [λd​λq​​]​=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]([L1​−L2​cos2θ−L2​sin2θ​−L2​sin2θL1​+L2​cos2θ​][ia​ib​​]+λf​[cosθsinθ​])=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][L1​−L2​cos2θ−L2​sin2θ​−L2​sin2θL1​+L2​cos2θ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​]+λf​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][cosθsinθ​]​

分开计算，后半部分：

λ f [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ cos θ sin θ ] = λ f [ cos 2 θ + sin 2 θ − sin θ cos θ + cos θ sin θ ] = [ λ f 0 ] \begin{aligned} &\lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ =&\lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos}^2 \theta +\textup{sin}^2 \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta \textup{cos}\theta+\textup{cos}\theta \textup{sin} \theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\=& \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_f\\ %第一行元素 0\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ \end{aligned} ==​λf​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][cosθsinθ​]λf​[cos2θ+sin2θ−sinθcosθ+cosθsinθ​][λf​0​]​
前半部分：
[ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ L 1 − L 2 cos 2 θ − L 2 sin 2 θ − L 2 sin 2 θ L 1 + L 2 cos 2 θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] = [ L 1 cos θ − L 2 cos θ cos 2 θ − L 2 sin 2 θ sin θ L 1 sin θ − L 2 cos θ sin 2 θ + L 2 sin θ cos 2 θ L 2 sin θ cos 2 θ − L 2 sin 2 θ cos θ − L 1 sin θ L 2 sin 2 θ sin θ + L 1 cos θ + L 2 cos θ cos 2 θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] = [ ( L 1 − L 2 ) cos θ ( L 1 − L 2 ) sin θ − ( L 1 + L 2 ) sin θ ( L 1 + L 2 ) cos θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] = [ ( L d ) cos θ ( L d ) sin θ − ( L q ) sin θ ( L q ) cos θ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ i d i q ] = [ L d 0 0 L q ] [ i d i q ] \begin{aligned} &\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ =& \begin{bmatrix} L_1\textup {cos} \theta-L_2\textup {cos} \theta \textup {cos} 2\theta -L_2\textup {sin} 2\theta\textup {sin} \theta& L_1\textup {sin} \theta-L_2\textup {cos} \theta\textup {sin} 2\theta+L_2\textup {sin} \theta\textup {cos} 2\theta\\ L_2\textup {sin} \theta\textup {cos} 2\theta -L_2\textup {sin} 2\theta\textup {cos} \theta -L_1\textup {sin} \theta&L_2\textup {sin} 2\theta\textup {sin} \theta+ L_1\textup {cos} \theta+L_2\textup {cos} \theta\textup {cos} 2\theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}\\=& \begin{bmatrix} (L_1-L_2)\textup {cos} \theta&(L_1-L_2)\textup {sin} \theta\\ -(L_1+L_2)\textup {sin} \theta&(L_1+L_2)\textup {cos} \theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}\\=& \begin{bmatrix} (L_d)\textup {cos} \theta&(L_d)\textup {sin} \theta\\ -(L_q)\textup {sin} \theta&(L_q)\textup {cos} \theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textup{cos} \theta &-\textup{sin} \theta \\ \textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}\\=& \begin{bmatrix} L_d&0\\ 0&L_q\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}\\ \end{aligned} ====​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][L1​−L2​cos2θ−L2​sin2θ​−L2​sin2θL1​+L2​cos2θ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​][L1​cosθ−L2​cosθcos2θ−L2​sin2θsinθL2​sinθcos2θ−L2​sin2θcosθ−L1​sinθ​L1​sinθ−L2​cosθsin2θ+L2​sinθcos2θL2​sin2θsinθ+L1​cosθ+L2​cosθcos2θ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​][(L1​−L2​)cosθ−(L1​+L2​)sinθ​(L1​−L2​)sinθ(L1​+L2​)cosθ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​][(Ld​)cosθ−(Lq​)sinθ​(Ld​)sinθ(Lq​)cosθ​][cosθsinθ​−sinθcosθ​][id​iq​​][Ld​0​0Lq​​][id​iq​​]​
综上：
[ λ d λ q ] = [ L d 0 0 L q ] [ i d i q ] + [ λ f 0 ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} L_d&0\\ 0&L_q\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_d\\ i_q\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_f\\ %第一行元素 0\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ \end{aligned} [λd​λq​​]​=[Ld​0​0Lq​​][id​iq​​]+[λf​0​]​

即：
λ d = L d i d + λ f λ q = L q i q \begin{aligned} \lambda_d&=L_di_d+ \lambda_f\\ \lambda_q&=L_qi_q \end{aligned} λd​λq​​=Ld​id​+λf​=Lq​iq​​

电压方程

[ V d V q ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ V a V b ] = [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ R 0 0 R ] [ i a i b ] + [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] d d t [ λ a λ b ] = [ R 0 0 R ] [ i d i q ] + [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] d d t [ λ a λ b ]   \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_d\\ %第一行元素 V_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_a\\ %第一行元素 V_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\ \end{aligned} [Vd​Vq​​]​=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][Va​Vb​​]=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][R0​0R​][ia​ib​​]+[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]dtd​[λa​λb​​]=[R0​0R​][id​iq​​]+[cosθ−sinθ​sinθcosθ​]dtd​[λa​λb​​] ​
又因为：
[ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] d d t [ λ a λ b ] + d d t [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] = d d t ( [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] ) \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}= \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \left( \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \right) \end{aligned} [cosθ−sinθ​sinθcosθ​]dtd​[λa​λb​​]+dtd​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​]=dtd​([cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​])​
所以：
[ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] d d t [ λ a λ b ] = d d t ( [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] ) − d d t [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] [ λ a λ b ] = d d t [ λ d λ q ] − w [ − sin θ cos θ − cos θ − sin θ ] [ λ a λ b ] = d d t [ λ d λ q ] + w [ − λ q λ d ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \left( \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \right)- \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup{cos} \theta &\textup{sin} \theta \\ %第一行元素 -\textup{sin} \theta& \textup{cos}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ &= \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}-w \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 -\textup{sin} \theta &\textup{cos} \theta \\ %第一行元素 -\textup{cos} \theta& -\textup{sin}\theta \\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\ &=\frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+w \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 -\lambda_q\\ %第一行元素 \lambda_d\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [cosθ−sinθ​sinθcosθ​]dtd​[λa​λb​​]​=dtd​([cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​])−dtd​[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][λa​λb​​]=dtd​[λd​λq​​]−w[−sinθ−cosθ​cosθ−sinθ​][λa​λb​​]=dtd​[λd​λq​​]+w[−λq​λd​​]​

其中
w = d θ d t w= \frac{\textup {d}\theta}{\textup {d} t} w=dtdθ​

综上：
[ V d V q ] = [ R 0 0 R ] [ i d i q ] + d d t [ λ d λ q ] + w [ − λ q λ d ] \begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_d\\ %第一行元素 V_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_d\\ %第一行元素 i_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_d\\ %第一行元素 \lambda_q\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+w \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 -\lambda_q\\ %第一行元素 \lambda_d\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned} [Vd​Vq​​]​=[R0​0R​][id​iq​​]+dtd​[λd​λq​​]+w[−λq​λd​​]​

即：
V d = R i d + d λ d d t − w λ q V q = R i q + d λ q d t + w λ d \begin{aligned} V_d&=Ri_d+ \frac{\textup {d} \lambda_d}{\textup {d} t}-w \lambda_q\\ V_q&=Ri_q +\frac{\textup {d} \lambda_q}{\textup {d} t}+w \lambda_d \end{aligned} Vd​Vq​​=Rid​+dtdλd​​−wλq​=Riq​+dtdλq​​+wλd​​

结论

经过坐标变换之后，在dq坐标系中，永磁同步电机的电压方程为：
V d = R i d + d λ d d t − w λ q V q = R i q + d λ q d t + w λ d \begin{aligned} V_d&=Ri_d+ \frac{\textup {d} \lambda_d}{\textup {d} t}-w \lambda_q\\ V_q&=Ri_q +\frac{\textup {d} \lambda_q}{\textup {d} t}+w \lambda_d \end{aligned} Vd​Vq​​=Rid​+dtdλd​​−wλq​=Riq​+dtdλq​​+wλd​​

磁链方程为：
λ d = L d i d + λ f λ q = L q i q \begin{aligned} \lambda_d&=L_di_d+ \lambda_f\\ \lambda_q&=L_qi_q \end{aligned} λd​λq​​=Ld​id​+λf​=Lq​iq​​

在dq坐标系中，电压矢量不在依赖转子位置，而与转子的速度有关，因此，仅当速度恒定时，系统方程为线性方程。在转子速度发生变化的情况下，如果速度变化是由于电流变化引起的，那么，此时的系统方程为非线性的。

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