【算法学习】最小公倍数问题
前言：
求最小公倍数的两种算法：
求两个正整数的最小公倍数，比如3和5的最小公倍数是15，6和8的最小公倍数是24。
本片讨论如何求两个数的最小公倍数，第一种方法是通过最大公约数来求，第二种方法是累加法。
由最大公约数求最小公倍数
对于两个正整数a,b，这两个数的乘积等于这两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积。
所以可以用该公式求最小公倍数。
计算两个正整数的最小公倍数(LCM)，可以通过最大公约数(GCD)和公式LCM(a,b)=(a*b)/GCD(a,b)实现。即LCM(a,b)=(a*b)/GCD(a,b)。所以只需求出最大公约数即可。
求最大公约数有两种算法：
1，辗转相除法（欧几里得算法）
其基本步骤如下：
- 用较大数除较小数，得到余数
- 用余数继续除上一次的除数，直到除数为0
- 最后的除数就是最大公约数
例如求91 和 49的最大公约数：
91/49=1......42
49/42=1......7
42/7=6......0
可以得到最大公约数为7。以除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前除数为最大公约数
代码实现：
自定义实现GCD函数
计算最大公约数
//int gcd(int a, int b)
//{
// while (b != 0)
// {
// int tmp = b;
// b = a % b;
// a = tmp;
// }
// return a;
//}
int gcd(int a, int b)
{
if (a % b == 0)
return b;
else
return gcd(b, a % b);
}
//计算最小公倍数
long long lcm(int a, int b)
{
if(a==0||b==0) return 0;
return (a * b) / gcd(a, b);
}使用C++17标准库中的std::gcd。
需包含头文件<numeric>，并使用C++17或更高标准编译。
#include <iostream>
#include <numeric>
using namespace std;
long long lcm(int a, int b)
{
return (a * b) / std::gcd(a, b);
}
int main()
{
int a = 12, b = 18;
cout << lcm(a, b) << endl;
return 0;
}总结：
公式推导
利用数学关系：LCM(a, b) × GCD(a, b) = |a × b|。处理零的情况
如果任一数为零，直接返回 0（因为零和任何数的 LCM 是零）。防止整数溢出
将a * b转换为long long类型，避免乘法溢出（例如a = 1e9,b = 1e9）。处理负数
使用std::abs保证计算的数值为正，避免符号干扰。
2，辗转相减法
若a>b,则a=a-b（大的数减去小的数）
若a=b,则a或b就是最大公约数
如求35和14的两个最小公倍数：
35-14=21；
21-14=7；此时7小于14，要做一次交换
14-7=7；
7-7=0；此时可以求出最大公约数位7
//a-b辗转相减法
int gcd(int a, int b)
{
if (a < b)
{
//交换
int c = a;
a = b;
b = c;
}
if (a == b)
return a;
else
{
return gcd(b, a - b);
}
}
long long lcm(int a, int b)
{
if (a == 0 || b == 0) return 0;
return (a * b) / gcd(a, b);
}累加法
又称穷举法。设正数a。最后的最小公倍数一定是a,b的倍数。所以任选a,b一个作为循环变量，假设是a，若变量值除以b可以除尽，则此时的变量就是最小公倍数，否则变量依次+a。
long long lcm(int a, int b)
{
int i = 0;
for (int i = a;; i += a)
if (i % b == 0)
return i;
}多个数的最小公倍数（扩展）
对于多个数的LCM，可以使用递归解决。
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
//辗转相除法
int gcd(int a, int b)
{
if (a % b == 0)
return b;
else
return gcd(b, a % b);
}
//计算最小公倍数
long long lcm(int a, int b)
{
return (a * b) / gcd(a, b);
}
long long lcm_mutiple(vector<int> num)
{
if (num.size() == 0) return 0;
long long result = 1;
for (int x : num)
result = lcm(result, x);
return result;
}
int main()
{
cout << lcm_mutiple({ 2,5,9 }) << endl;
return 0;
}