永磁同步电机模型第二篇之两相电机实时模型
文章目录
- 前言
- 电压方程与磁链方程
- 结论
前言
本文主要介绍两相永磁电机模型的坐标变化极其推导过程。本文主要参考资料：
- R.Krishnan.永磁无刷电机及其驱动技术.机械工程出版社
推导永磁同步电机动态模型时，基于以下三个假设：
- 定子绕组加以对称正弦分布的磁动势
- 电感随着转子位置正弦变化
- 饱和及参数变化忽略不计
假设两相永磁同步电机如下图所示：
电压方程与磁链方程
在永磁同步电机中，定子交轴(b轴)以逆时针方向90°超前直轴(a轴)。定子中a轴和b轴的电压方程可由定子电阻的压降和以及磁链的微分之和求得。
V
a
=
R
a
i
a
+
d
λ
a
d
t
V
b
=
R
b
i
b
+
d
λ
b
d
t
\begin{aligned} V_a=R_a i_a+\frac{\textup {d} \lambda_a }{\textup {d} t} \\ V_b=R_b i_b+\frac{\textup {d} \lambda_b }{\textup {d} t} \end{aligned}
Va=Raia+dtdλaVb=Rbib+dtdλb
其中，
V
a
V_a
Va —— a轴绕组电压
V
b
V_b
Vb —— b轴绕组电压
i
a
i_a
ia —— a轴绕组电流
i
b
i_b
ib —— b轴绕组电流
R
a
R_a
Ra —— a轴绕组电阻
R
b
R_b
Rb —— b轴绕组电阻
λ
a
\lambda_a
λa —— a轴绕组磁链
λ
b
\lambda_b
λb —— b轴绕组磁链
因为电机的绕组是对称的，因而绕组的电阻是相等的，其可以表示为
R
=
R
a
=
R
b
R=R_a=R_b
R=Ra=Rb。
化简后，矩阵表示为
[
V
a
V
b
]
=
[
R
0
0
R
]
[
i
a
i
b
]
+
d
d
t
[
λ
a
λ
b
]
\left[ %左括号 \begin{array}{} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_a\\ %第一行元素 V_b\\ %第二行元素 \end{array} \right]= \left[ %左括号 \begin{array}{} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{array} \right] \left[ %左括号 \begin{array}{} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{array} \right] + \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}
[VaVb]=[R00R][iaib]+dtd[λaλb]
磁链方程为：
λ
a
=
L
a
i
a
+
L
a
b
i
b
+
λ
f
cos
θ
λ
b
=
L
b
i
b
+
L
b
a
i
b
+
λ
f
sin
θ
\begin{aligned} \lambda_a=L_{a}i_a+L_{ab}i_b+\lambda_f \textup {cos} \theta \\ \lambda_b=L_{b}i_b+L_{ba}i_b+\lambda_f \textup {sin} \theta \\ \end{aligned}
λa=Laia+Labib+λfcosθλb=Lbib+Lbaib+λfsinθ
矩阵表示形式为：
[
λ
a
λ
b
]
=
[
L
a
L
a
b
L
b
a
L
b
]
[
i
a
i
b
]
+
λ
f
[
cos
θ
sin
θ
]
\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_{a}&L_{ab}\\ %第一行元素 L_{ba}&L_{b}\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}
[λaλb]=[LaLbaLabLb][iaib]+λf[cosθsinθ]
其中，
L
a
L_{a}
La——a轴自感
L
b
L_{b}
Lb——b轴自感
L
a
b
L_{ab}
Lab——b轴对a轴的互感
L
b
a
L_{ba}
Lba——a轴对b轴的互感
λ
f
\lambda _f
λf——永磁体(转子)产生的磁链
θ
\theta
θ ——永磁体(转子)旋转的电角度
由于a轴与b轴是对称关系，所以， L a b = L a b = L m L_{ab}=L_{ab}=L_m Lab=Lab=Lm。
做如下定义：
当
θ
=
0
∘
\theta=0^{\circ}
θ=0∘时，
L
a
=
L
d
L_{a}=L_d
La=Ld，此时
L
a
L_{a}
La最小。当
θ
=
9
0
∘
\theta=90^{\circ}
θ=90∘时，
L
a
=
L
q
L_{a}=L_q
La=Lq，此时
L
a
L_{a}
La最大。
可以得到如下公式：
L
a
=
L
1
−
L
2
cos
2
θ
L
b
=
L
1
+
L
2
cos
2
θ
L
m
=
−
L
2
sin
2
θ
L_a=L_1-L_2\textup {cos} 2\theta\\ L_b=L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ L_m=-L_2\textup {sin} 2\theta
La=L1−L2cos2θLb=L1+L2cos2θLm=−L2sin2θ
其中
L
1
=
L
q
+
L
d
2
L
2
=
L
q
−
L
d
2
\begin{aligned} L_1=\frac{L_q+L_d}{2}\\ L_2=\frac{L_q-L_d}{2} \end{aligned}
L1=2Lq+LdL2=2Lq−Ld
且
L
d
=
L
1
−
L
2
L
q
=
L
1
+
L
2
L_d=L_1-L_2\\ L_q=L_1+L_2\\
Ld=L1−L2Lq=L1+L2
注意：
表贴式永磁同步电机
L
a
L_a
La与
L
b
L_b
Lb变化量很小，为5％到15％，在建模中，认为其不存在凸极性，取
L
d
=
L
q
=
L
1
L
2
=
0
L_{d}=L_{q}=L_1\\ L_2=0
Ld=Lq=L1L2=0
结论
不失一般性，两项电机实时模型的电压方程为：
[
V
a
V
b
]
=
[
R
0
0
R
]
[
i
a
i
b
]
+
d
d
t
[
λ
a
λ
b
]
\begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 V_a\\ %第一行元素 V_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 R&0\\ %第一行元素 0&R\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \frac{\textup {d}}{\textup {d} t} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}
[VaVb]=[R00R][iaib]+dtd[λaλb]
磁链方程为：
[
λ
a
λ
b
]
=
[
L
a
L
m
L
m
L
b
]
[
i
a
i
b
]
+
λ
f
[
cos
θ
sin
θ
]
=
[
L
1
−
L
2
cos
2
θ
−
L
2
sin
2
θ
−
L
2
sin
2
θ
L
1
+
L
2
cos
2
θ
]
[
i
a
i
b
]
+
λ
f
[
cos
θ
sin
θ
]
\begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_{a}&L_{m}\\ %第一行元素 L_{m}&L_{b}\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1-L_2\textup {cos} 2\theta&-L_2\textup {sin} 2\theta\\ %第一行元素 -L_2\textup {sin} 2\theta& L_1+L_2\textup {cos} 2\theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned}
[λaλb]=[LaLmLmLb][iaib]+λf[cosθsinθ]=[L1−L2cos2θ−L2sin2θ−L2sin2θL1+L2cos2θ][iaib]+λf[cosθsinθ]
若是表贴式永磁同步电机，磁链方程则可以简化为：
[
λ
a
λ
b
]
=
[
L
a
0
0
L
b
]
[
i
a
i
b
]
+
λ
f
[
cos
θ
sin
θ
]
=
[
L
1
0
0
L
1
]
[
i
a
i
b
]
+
λ
f
[
cos
θ
sin
θ
]
\begin{aligned} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \lambda_a\\ %第一行元素 \lambda_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_{a}&0\\ %第一行元素 0&L_{b}\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 L_1&0\\ %第一行元素 0& L_1\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 i_a\\ %第一行元素 i_b\\ %第二行元素 \end{bmatrix}+ \lambda_f \begin{bmatrix} %该矩阵一共3列，每一列都居中放置 \textup {cos} \theta\\ %第一行元素 \textup {sin} \theta\\ %第二行元素 \end{bmatrix} \end{aligned}
[λaλb]=[La00Lb][iaib]+λf[cosθsinθ]=[L100L1][iaib]+λf[cosθsinθ]