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模运算专题练习 ——基于罗勇军老师的《蓝桥杯算法入门C/C++》

news 来源：原创 2025/4/29 19:51:03

一、1.刷题统计 - 蓝桥云课

算法代码：

代码思路分析

二、1.倍数问题 - 蓝桥云课

算法代码：

代码思路

关键逻辑详解

一、1.刷题统计 - 蓝桥云课

算法代码：

#include <bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库头文件
using namespace std;     // 使用标准命名空间，避免每次调用标准库函数时写 std::
typedef long long ll;    // 定义 ll 为 long long 类型的别名，方便使用

int main() {
    // 定义变量 a（工作日每天完成的任务数）、b（周末每天完成的任务数）、n（总任务数）
    ll a, b, n;
    // 从标准输入读取 a、b、n 的值
    cin >> a >> b >> n;

    // 计算一周（7 天）完成的任务量：5 个工作日每天完成 a 个任务，2 个周末每天完成 b 个任务
    ll week = a * 5 + b * 2;

    // 计算完整周的天数：总任务数除以一周的任务量，取整后乘以 7
    ll days = (n / week) * 7;

    // 计算剩余的任务量：总任务数对一周的任务量取模
    ll k = n % week;

    // 如果有剩余任务需要处理
    if (k <= a * 5) {
        // 如果剩余任务可以在 5 个工作日内完成
        // 计算需要多少个工作日完成剩余任务
        days += k / a;
        // 如果剩余任务不能整除 a，则需要额外一天
        if (k % a) {
            days += 1;
        }
    } else {
        // 如果剩余任务需要跨到周末完成
        // 先完成 5 个工作日
        days += 5;
        // 计算剩余任务量：减去 5 个工作日完成的任务量
        k -= a * 5;
        // 计算需要多少个周末完成剩余任务
        days += k / b;
        // 如果剩余任务不能整除 b，则需要额外一天
        if (k % b) {
            days += 1;
        }
    }

    // 输出总天数
    cout << days;

    // 主函数返回 0，表示程序正常结束
    return 0;
}

代码思路分析

二、1.倍数问题 - 蓝桥云课

算法代码：

#include <bits/stdc++.h>  // 包含所有标准库头文件
using namespace std;     // 使用标准命名空间，避免每次调用标准库函数时写 std::

int m[1050][3];  // 定义二维数组 m，用于存储每个余数对应的最大三个数
int u[100010];   // 定义数组 u，用于存储输入的整数

int main() {
    int n, k;  // 定义变量 n（数组大小）和 k（模数）
    cin >> n >> k;  // 输入 n 和 k

    // 输入数组 u
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &u[i]);
    }

    // 将数组 u 按从大到小排序
    sort(u, u + n, greater<int>());

    // 遍历数组 u，按模数分类
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int y = u[i] % k;  // 计算当前数对 k 取模的结果
        // 将当前数存储到 m[y] 中，最多存储三个数
        if (m[y][0] == 0) {
            m[y][0] = u[i];
        } else if (m[y][1] == 0) {
            m[y][1] = u[i];
        } else if (m[y][2] == 0) {
            m[y][2] = u[i];
        }
    }

    int ans = 0;  // 定义变量 ans，用于存储最终的最大和

    // 枚举可能的和 x（x 是 k 的倍数，范围为 0 到 2k）
    for (int x = 0; x <= 2 * k; x += k) {
        // 枚举余数 a
        for (int a = 0; a < k; a++) {
            // 枚举余数 b
            for (int b = 0, c; b < k; b++) {
                // 计算余数 c = x - a - b
                c = x - a - b;
                // 检查 c 是否合法（即 c 在 0 到 k-1 之间）
                if (c >= 0 && c < k) {
                    // 计算当前组合的和，并更新最大值
                    ans = max(ans, m[a][0] + m[b][a == b] + m[c][(a == c) + (b == c)]);
                }
            }
        }
    }

    // 输出结果
    cout << ans;
    return 0;  // 主函数返回 0，表示程序正常结束
}

代码思路

这段代码的目的是从一组整数中选出 最多三个数，使得它们的和是 k 的倍数，并且和尽可能大。具体思路如下：

输入数据：
- 读取整数 n（数组大小）和 k（模数）。
- 读取数组 u，存储 n 个整数。
排序数组：
- 将数组 u 按从大到小排序，方便后续优先选择较大的数。
按模数分类：
- 使用二维数组 m 记录每个余数对应的最大三个数。
- 遍历数组 u，计算每个数对 k 取模的结果 y=u[i]%k。
- 将数 u[i] 存储到 m[y]中，最多存储三个数（即每个余数最多记录三个最大的数）。
枚举可能的和：
- 枚举可能的和 x，其中 x 是 k 的倍数，范围为 0 到2k（因为最多选三个数，三个数的和对 k 取模的范围是 0 到 2k）。
- 对于每个 x，枚举两个余数 a 和 b，计算第三个余数 c=x−a−b。把题目转化为a%k有k种取值，b%k也有k种取值，而选定a、b之后，可以通过a、b、x计算出c，所以只需要枚举a%k和b%k即可，计算复杂度是O（k**2），能通过100%的测试。
- 检查 c 是否合法（即 c 在 0 到 k−1 之间）。
- 如果合法，计算当前组合的和，并更新最大值。
输出结果：
- 输出满足条件的最大和。

关键逻辑详解

按模数分类：
- 使用二维数组 m 记录每个余数对应的最大三个数。
- 例如，m[y][0] 存储余数为 y 的最大数，m[y][1] 存储次大数，m[y][2] 存储第三大数。
枚举可能的和：
- 由于最多选三个数，三个数的和对 k 取模的范围是 0 到 2k。
- 对于每个可能的和 x，枚举两个余数 a 和 b，计算第三个余数 c=x−a−b。
- 检查 c是否合法（即 c在 0 到 k−1 之间）。
计算当前组合的和：
- 使用 m[a][0] 获取余数为 a 的最大数。
- 使用 m[b][a==b] 获取余数为 b 的数：
  - 如果 a==b，则选择次大数 m[b][1]。
  - 否则，选择最大数 m[b][0]。
- 使用 m[c][(a==c)+(b==c)]获取余数为 c 的数：
  - 如果 a==c或 b==c，则需要跳过已选择的数。
详细解析：m[a][0]：
- 表示余数为 a 的最大数。
- 例如，如果 a = 1，则 m[1][0] 是余数为 1 的最大数。
m[b][a == b]：
- 表示余数为 b 的数。
- 如果 a == b，说明余数为 b 的数已经被选过一次（作为 m[a][0]），因此需要选择次大数 m[b][1]。
- 如果 a != b，则选择最大数 m[b][0]。
m[c][(a == c) + (b == c)]：
- 表示余数为 c 的数。
- 如果 a == c 或 b == c，说明余数为 c 的数已经被选过，因此需要跳过已选择的数。
- (a == c) + (b == c) 的值可能是 0、1 或 2：
  - 如果是 0，选择最大数 m[c][0]。
  - 如果是 1，选择次大数 m[c][1]。
  - 如果是 2，选择第三大数 m[c][2]。
max(ans, ...)：
- 将当前组合的和与 ans 比较，取较大值更新 ans。
更新最大值：
- 使用 max 函数更新当前最大值。