上海高考解析几何

解析几何的核心思想。

1. 核心分析方法：

自由度引入

方程组中，$n$ 个未知数需要 $n$ 个等式来解出具体的值。

自由度

性质

1. 一个未知数带来一个自由度，一个等式条件减少一个自由度（减少自由度的方式为消元）。
2. 通过换元，我们可以改变自由度的对象，却无法减少自由度

应用

起初先假设所有东西都是自由的，将条件看成限制关系。

或者由某些自由度出发，通过限制条件不断去扩展信息。

值得注意的是，一些不等式的条件无法直接减少自由度，就好比解方程组里给你一个范围的限制。

在解题中，我们一定要根据最后所求量判断解题思路是否合理

• 求取值范围：一个自由度的函数分析
• 证直线过定点：一个自由度的直线过定点

笔者认为，解析几就是解方程。

2. 什么时候设点设直线？

设直线联立本质

假设联立 $l_{PQ}$ 与椭圆，起初 $x_P,y_P,x_Q,y_Q$ 四个自由度，通过 $P,Q\in C_{椭圆}$，获得 $x_P,y_P$ 以及 $x_Q,y_Q$ 关系，减少两个自由度。

然而，在表示 $P,Q$ 的 $x,y$ 关系时，还需要讨论其正负。

那有没有一种不用讨论正负的方法呢？例如通过设直线 $y=kx+b$，我们发现，通过联立直线和椭圆，$P,Q$ 是确定的，因此我们通过设直线，用两个自由度得以不用讨论描述相同的信息。

设直线用处

直线 $l_{AB}$ 有两个自由度，而我们可以通过转换对象的方式改变自由度，例如以 $A$ 和斜率作为自由度，那么 $B$ 和截距就是确定量；以斜率截距作为自由度，那么 $A,B$ 就是确定量，并且关于 $A,B$ 对称的式子可疑很方便的用 $k,b$ 表示出来，而相反，用前面那种 $A$ 和斜率的方式就会破坏这种对称性。

因此不难发现，直线的用处有二：1. 表示关于两点的对称式 2. 找两点关系

在解析几何中，在保证自由度数量的前提下，我们尽量保证对称性。

3. 例题：25春考

初始自由度：$x_P,y_P,x_Q,y_Q,T$ 五个自由度，这题的四个条件分别是：$P\in \Gamma$，$Q\in \Gamma$，等腰，直角。

而设的东西一定不能凭空增加自由度，一定是利用条件来维持自由度个数的平衡。

方法一：设直线联立的方法：

设 $l_{PQ}:y=kx+b$ 带来两个自由度，$l_{PQ}$ 确定，与椭圆联立后 $P,Q$ 均确定，因此并没有增加自由度。现在加上 $T$ 共三个自由度，我们还有等腰 + 直角两个条件没用，两个条件减少两个自由度，最后剩一个自由度，即最后求取值范围所剩的自由度。

总结：
通过设直线，我们引入两个自由度，并利用了椭圆的两个条件保持自由度个数的平衡。

还有一种全新的做法，核心在于：在保证自由度数量的同时，尽可能方便的表示。

方法二：直线的参数方程

通过换一种直线设法，能够方便表示弦长，从而减少计算量。

方法二更像是方法一跟方法三的结合。

方法三

方法一我们在设的时候利用了椭圆的条件，方法二我们考虑设的时候考虑利用等腰直角的两个条件设，并且我们还会发现这样做是对称的。

总结

对于考场策略，我认为设直线联立仍是可行的，用计算量换思考量。但这题其实我们解析几何转换舍的方法

25 春考解几还是很棒的，期待一下 25 秋考。