堆的应用（堆排序TopK问题）

1. 堆排序

堆排序可以帮助选数，本质是选择排序。

1）建堆的思考（时间复杂度计算）

利用向下调整算法和向上调整算法完成建堆，第一个数作为一个堆，后面的数依次进行插入，本质是模拟堆插入的过程

升序：建大堆；降序：建小堆

为什么是这样子的呢？拿升序建大堆为例进行讲解：

假设给出一个数组，要使用堆排序实现升序，如果这时建小堆，那么数组第一个数是最小的，那后面的数就需要重新建堆，而一次建堆的时间复杂度本身就是 O(NlogN) ，还需要重复 n 次这样的操作，即使看上去高大上，但实际效率十分低。

而采用大堆进行升序时，能够确定最大的数，这样就可以对数组首尾交换，从而实现固定最大的数字。这样原本的堆再利用堆删除的思想，就可以保证堆的关系不会乱，时间复杂度此时变成了：建堆 O(NlogN) ，选数 O(N-1)logN ，总的时间复杂度就是相加，就变成了 O(NlogN) ，这个算法的量级也就下降了（时间复杂度是判定算法的量级，即使相同时间复杂度的算法，他们的量级也会有区别）

那还有更高效的建堆方法吗？答案就是直接利用向下调整算法！

从倒数第一个非叶子，即最后一个节点的父亲开始调整，这样可以减少一般的时间复杂度，而且调整的方式也会改变，从而使其更快

建堆的两个时间复杂度将在最后进行分析。

2）利用堆删除思想来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序，下面将根据上述的思路进行升序

3）实现堆排序（升序-大堆）

依托上面堆实现的代码，但要修改向上调整算法和向下调整算法的判定条件为大堆。

#include "Heap.h"

void HeapSort(int* a, int n)
{
	// 建大堆
	 把a[0]当作一个大堆，其他数据插入
	 O(NlogN)
	//for (int i = 1; i < n; i++)
	//{
	//	// 修改判定条件为大堆，调整符号
	//	AdjustUp(a, i);
	//}
	
	// 只利用向下调整算法，效果更高，时间复杂度是 O(N)
	// 从倒数第一个非叶子，即最后一个节点的父亲
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}

	// 升序使用向下调整算法，用堆删除的思路调整堆
	// O(NlogN)
	int end = n - 1;
	while (end > 0)
	{
		// 先排序大的数据，大的往后面先排好序
		Swap(&a[0], &a[end]);
		// 修改判定条件为大堆，然后调整堆
		AdjustDown(a, end, 0);
		end--;
	}
}

int main()
{
	int a[] = { 2,7,0,21,56,786,1,3 };
	HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(int));
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");

	return 0;
}

4）运行效果

5）分析建堆的时间复杂度

首先要知道满二叉树有以下结论：

2^h-1  ->  h=log(N+1)

对于建堆的两种办法：

一）向上调整算法【最终近似O(NlogN)】

二）向下调整算法【最终近似O(N)】

三）选数字排序【O(NlogN)】

2. TOP-K问题（小堆）

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。 比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)，因此最佳的方式就是用堆来解决

1）基本思路

思路1： N个数插入大堆里面， Pop k次，时间复杂度是 O(N*logN+K*logN) -> O(N*logN) ，当N远大于k，且N很大时，空间占用会很高，内存不够用，因此方案不太行

思路2： 首先读取前k个值，建立k个数的小堆，再一次读取后面的值，跟堆顶比较；如果比堆顶大，替换堆顶进展，再向下调整。此时的时间复杂度就变成了 O(N*logK)

下面将模拟实现思路2的场景：10亿个随机数字找出最大的前10个。首先向文件写入随机数字，用 fprint 写入文件，再用 fscanf 读取建立小堆，之后开始遍历。为了检验是否有错误，手动进入文件修改5个数字，使其大于10000000000（一百亿），如果5个数都大于10000000000，就证明思路实现正确。

2）实现代码，要建立小堆

#include "Heap.h"

void CreateNDate()
{
	// 造数据
	int n = 10000000000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}

	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
        // +i可以防止过多数据重复
		int x = (rand() + i) % 10000000000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}

	fclose(fin);
}

void PrintTopK(const char* file, int k)
{
	FILE* fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen fail\n");
		exit(-1);
	}

	// 要先对向上/向下调整算法判定条件修改
	// 开辟小堆空间
	int* minHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (minHeap == NULL)
	{
		perror("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}

	// 读取前k个数建一个k个数小堆
	for (int i = 0; i < k; ++i)
	{
		fscanf(fout, "%d", &minHeap[i]);
		AdjustUp(minHeap, i);
	}

    // 找大的数字进堆
	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
	{
		if (x > minHeap[0])
		{
			minHeap[0] = x;
			AdjustDown(minHeap, k, 0);
		}
	}

	// 打印
	for (int i = 0; i < k; ++i)
	{
		printf("%d ", minHeap[i]);
	}
	printf("\n");

	// 使用完就释放空间
	free(minHeap);
	minHeap = NULL;
	// 要记得关闭文件
	fclose(fout);
}

int main()
{
    // 一百亿个数据要跑很久，可以将数据量减少
	CreateNDate();
	PrintTopK("data.txt", 6);

	return 0;
}

3）运行效果

以上就是堆的全部内容啦！！