三维仿射变换矩阵

  三维仿射变换矩阵有 $3\times 4、4\times 4$两种写法，都是施加到三维点的齐次式上， $4\times 4$的仿射变换矩阵是在 $3\times 4$的矩阵后追加一行 $(0,0,0,1)$，便于通过连续左乘计算组合变换矩阵，这里只对平移、缩放、旋转三种变换展开分析，剪切、反射这两种变换暂不展开，并且对旋转变换会做比较细致的分析。

平移变换

  平移量为$(a,b,c)$的平移变换矩阵是：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a\\ 0& 1& 0& b\\ 0& 0& 1& c\end{array}\right]$$

缩放变换

  点$(x,y,z)$变成$(ax,by,cz)$的缩放矩阵是
$$\left[\begin{array}{cccc}a& 0& 0& 0\\ 0& b& 0& 0\\ 0& 0& c& 0\end{array}\right]$$

旋转变换

绕x、y、z单个轴旋转的变换

  三维点绕$x$轴逆时针旋转$\alpha$角的旋转变换矩阵为：
$$R_x(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  三维点绕$y$轴逆时针旋转$\beta$角的旋转变换矩阵为：
$$R_y(\beta )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \beta & 0& \sin \beta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  三维点绕$z$轴逆时针旋转$\gamma$角的旋转变换矩阵为：
$$R_z(\gamma )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0& 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  因此，三维点先绕$x$轴逆时针旋转$\alpha$角，再绕$y$轴逆时针旋转$\beta$角，最后绕$z$轴逆时针旋转$\gamma$角的旋转变换矩阵为(注意顺序重要)：
$$\begin{array}{c}{R}_z(\gamma )R_y(\beta )R_x(\alpha )=\left[\begin{array}{cccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0& 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\cos \beta & 0& \sin \beta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc}\cos \beta \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \gamma \cos \alpha & \sin \beta \cos \alpha \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma & 0\\ \cos \beta \sin \gamma & \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma & \sin \gamma \sin \beta \cos \alpha -\sin \alpha \cos \gamma & 0\\ -\sin \beta & \sin \alpha \cos \beta & \cos \alpha \cos \beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$
  详细推导可参考这篇博客

绕任意轴旋转

  绕点$(x_0,y_0,z_0)$且单位法向量为$(a,b,c)$的轴旋转的变换矩阵为：
$$\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta +a^2(1-\cos \theta )& ab(1-\cos \theta )-c\sin \theta & ac(1-\cos \theta )+b\sin \theta & ((1-a^2)x_0-a(b{y}_0+c{z}_0))(1-\cos \theta )+(c{y}_0-b{z}_0)\sin \theta \\ ab(1-\cos \theta )+c\sin \theta & \cos \theta +b^2(1-\cos \theta )& bc(1-cos\theta )-a\sin \theta & ((1-b^2)y_0-b(a{x}_0+c{z}_0))(1-\cos \theta )+(a{z}_0-c{x}_0)\sin \theta \\ ac(1-\cos \theta )-b\sin \theta & bc(1-\cos \theta )+a\sin \theta & \cos \theta +c^2(1-\cos \theta )& ((1-c^2)z_0-c(a{x}_0+b{y}_0))(1-\cos \theta )+(b{x}_0-a{y}_0)\sin \theta \\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  特别地，绕原点且单位法向量为$(a,b,c)$的轴旋转的变换矩阵为：
$$\left[\begin{array}{cccc}\cos \theta +a^2(1-\cos \theta )& ab(1-\cos \theta )-c\sin \theta & ac(1-\cos \theta )+b\sin \theta & 0\\ ab(1-\cos \theta )+c\sin \theta & \cos \theta +b^2(1-\cos \theta )& bc(1-cos\theta )-a\sin \theta & 0\\ ac(1-\cos \theta )-b\sin \theta & bc(1-\cos \theta )+a\sin \theta & \cos \theta +c^2(1-\cos \theta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
  详细推导可参考这篇博客