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LeetCode hot 100—爬楼梯

news 来源：原创 2025/5/10 1:07:03

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

分析

如果使用递归，时间复杂度是 $O(2^{n})$ ，呈指数级增长，会超时。

动态规划是对递归方法的优化，避免了重复计算。我们可以使用一个数组来记录到达每一阶楼梯的方法数，然后根据递推关系逐步计算出到达第 n 阶楼梯的方法数。

动态规划法

时间复杂度：O( $n$ )

空间复杂度：O( $n$ )

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        std::vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

优化空间复杂度的动态规划法

可以发现，在计算到达第 i 阶楼梯的方法数时，只需要用到第 i - 1 阶和第 i - 2 阶的方法数，所以不需要使用一个数组来存储所有的中间结果，只需要使用两个变量来记录这两个值即可。

时间复杂度：O( $n$ )

空间复杂度：O(1)

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int first = 1;
        int second = 2;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            int third = first + second;
            first = second;
            second = third;
        }
        return second;
    }
};