十进制转任意负进制【C语言】

步骤：

• 初始化：设被除数为 N，基数为 b（负数）。

• 循环计算：

  • 计算商 q=向零取整(N/b)。

  • 计算余数 r=N%b。

  • 若 r<0，则 r+=∣b∣，同时 q+=1。

  • 记录余数 r，更新被除数 N=q。

• 终止：当 N=0 时停止，逆序排列余数得到结果。

为什么要修正余数和商？

用一个“钱的故事”来比喻，帮你理解为什么要修正余数和商：

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想象你在分钱，但钱可以是“欠条”

假设基数是 -2（类似一种“货币”，1 个金币 = -2 个银币）。
规则：每次分钱时，余下的钱必须是 0 或 1 个银币（不能欠钱）。

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例子：把 15 个银币转换成“-2 金币”

1. 第一次分钱：

   • 你有 15 个银币，要换成“-2 金币”。

   • 计算能换多少金币：
     15÷(−2)=−7.5 → 向零取整，换 -7 个金币（相当于你“欠”别人 7 个金币）。

   • 理论上应该剩：15−(−7)×(−2)=15−14=1 个银币（余数 1）。

   • 余数是正数，记录余数 1，剩下要处理的是 -7 个金币。

2. 第二次分钱：

   • 现在有 -7 个金币（相当于你欠别人 7 个金币）。继续换成“-2 金币”。

   • 计算：−7÷(−2)=3.5 → 向零取整，换 3 个金币。

   • 理论余数：−7−3×(−2)=−7+6=−1（余数 -1，相当于你反而欠了 1 个银币）。

   • 问题来了：余数不能是负数！
     修正方法：

     • 你偷偷“借” 2 个银币（基数的绝对值），把余数变成：−1+2=1。

     • 但借了钱要还，所以金币数量要加 1（相当于多换 1 个金币）：3+1=4。

   • 最终：余数 1，剩下要处理的是 4 个金币。

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为什么要这样修正？

• 余数必须非负：进制表示中，每一位只能是 0 或 1（基数为 -2 时），不能有负数，否则无法用 0 和 1 的组合表示。

• 借一还一：

  • 如果余数是负数，相当于“欠钱”，需要借入基数的绝对值（比如借 2 个银币），让余数变正。

  • 但借的钱要“还回去”，所以商（金币数量）要加 1，保证等式成立：

    原被除数=新商×(−2)+修正后的余数原被除数=新商×(−2)+修正后的余数

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总结原理

1. 余数必须合法：就像分钱不能欠零钱，余数必须是非负数且小于基数的绝对值。

2. 保持等式平衡：

   • 如果余数被修正（比如借了钱），商必须同步调整（比如多分一次钱），否则总数会不对。

3. 唯一性保障：通过强制余数非负，确保每个数只有一种表示方式（比如 15 只能是 10011_{-2}）。

例题练习 

P1017 [NOIP 2000 提高组] 进制转换https://www.luogu.com.cn/problem/P1017

参考代码：

#include<stdio.h>
int main() {
	int a,b,top=0;
	char c[21]={'0','1','2','3','4','5','6','7','8','9','A','B','C','D','E','F','G','H','I','J'};
	char d[10000]={'\0'};
	scanf("%d %d",&a,&b);
	printf("%d=",a);
	while(a!=0){
		int temp=a%b;
		a/=b;
		if(temp<0){
			temp+=(-b);
			a+=1;
		}
		d[top++]=c[temp];
	}
	for(int i=top-1;i>=0;i--){
		printf("%c",d[i]);
	}
	printf("(base%d)",b);
	return 0;
}