经典算法 最多约数问题

最多约数问题

正整数x的约数是能整除x的正整数。正整数x 的约数个数记为div(x)。例如，1，2，5，10 都是正整数10 的约数，则div(10)=4。设a 和b 是2 个正整数，a≤b，找出a和b之间约数个数最多的数x的约数个数.

输入

输入只有一行为两个整数a, b

输出

输出只有一行为a和b之间约数个数最多的数x的因数个数.

示例输入

1 36

示例输出

9

示例输入

1000 800000

示例输出

240

o(n*n^1/2)n的根号n 质因数分解算法

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a, b;

int div(int x) {
    unordered_map<int, int> maps;
    while (x % 2 == 0) {
        maps[2]++;
        x /= 2;
    }
    for (int i = 3; i * i <= x; i += 2) {
        while (x % i == 0) {
            maps[i]++;
            x /= i;
        }
    }
    if (x > 2) maps[x]++;
    int sum = 1;
    for (auto p : maps) {
        sum *= (p.second + 1);
    }
    return sum;
}

int main () {
    int a, b, ans = 0;
    cin >> a >> b;
    for (int i = a; i <= b; i++) {
        ans = max(ans, div(i));
    }
    cout <<ans << endl;
}//by wqs

一个合数的约数个数等于它每个质因数的个数+1再相乘。

例如10分解为10=2^1 * 5^1;

则10的约数可以选择0个2，0个5对应1；1个2，0个5，对应2；0个2,1个5对应5；1个2，1个5对应10；

事实上10的约数个数=所有（质因数次数 + 1）的乘

10的约数就是4

例如12=2^2 * 3^1;

可以选择0个2,1个2,2个2,0个3,1个3

一共有(2 + 1)*(1 + 1)种选择

12的约数就是6

质因数分解

时间复杂度o(n^1/2)也就是根号n

unordered_map<int, int> maps;
while (x % 2 == 0) {
    maps[2]++;
    x /= 2;
}
for (int i = 3; i * i <= x; i += 2) {
    while (x % i == 0) {
        maps[i]++;
        x /= i;
    }
}
if (x > 2) maps[x]++;

求约数

int sum = 1;
for (auto p : maps) {
    sum *= (p.second + 1);
}
return sum;

统计最大约数

for (int i = a; i <= b; i++) {
    ans = max(ans, div(i));
}

0（nln(n)) 埃拉托斯特尼筛法，最佳算法

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int a, b, ans = 0;

int main() {
    cin >> a >> b;
    vector<int> div_count(b + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= b; i++) {
        for (int j = i; j <= b; j += i) {
            div_count[j]++;
        }
    }
    for (int i = a; i <= b; i++) {
        ans = max(ans, div_count[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}//by wqs

很好理解

i=1时把能整除1的数div++,例如1,2,3,4,5,6,7,8,…

i=2时把能整除2的数div++,例如2,4,6,8,10,12,…

i=3时把能整除3的数div++,例如3,6,9,12,…

i=101时把能整除101的数div++,例如101,202,303,404…

for (int i = 1; i <= b; i++) {
    for (int j = i; j <= b; j += i) {
        div_count[j]++;
    }
}

最后统计既可

for (int i = a; i <= b; i++) {
    ans = max(ans, div_count[i]);
}