编程题-从前序与中序遍历序列构造二叉树（中等-重点）

题目：

给定两个整数数组 preorder 和 inorder ，其中 preorder 是二叉树的先序遍历， inorder 是同一棵树的中序遍历，请构造二叉树并返回其根节点。

提示:

• preorder 和 inorder 均 无重复 元素

解法一（递归）：

在「递归」地遍历某个子树的过程中，我们也是将这颗子树看成一颗全新的树。在中序遍历中定位到根节点，就可以分别知道左子树和右子树中的节点数目。由于同一颗子树的前序遍历和中序遍历的长度显然是相同的，因此我们可以对应到前序遍历的结果中。

在中序遍历中对根节点进行定位时，一种简单的方法是直接扫描整个中序遍历的结果并找出根节点，但这样做的时间复杂度较高。我们可以考虑使用哈希表来帮助我们快速地定位根节点。对于哈希表映射中的每个键值对，键表示一个元素（节点的值），值表示其在中序遍历中的出现位置。在构造二叉树的过程之前，我们可以对中序遍历的列表进行一遍扫描，就可以构造这个哈希映射。在此后构造二叉树的过程中，我们就只需要O(1)的时间对根节点进行定位了。如下为实现代码：

class Solution {
private:
    unordered_map<int, int> index;

public:
    TreeNode* myBuildTree(const vector<int>& preorder, const vector<int>& inorder, int preorder_left, int preorder_right, int inorder_left, int inorder_right){
        if(preorder_left>preorder_right){
            return nullptr;
        }
        // 前序遍历中的第一个节点就是根节点
        int preorder_root = preorder_left;
        // 在中序遍历中定位根节点
        int inorder_root = index[preorder[preorder_root]];
        // 先把根节点建立起来
        TreeNode* root = new TreeNode(preorder[preorder_root]);
        // 得到左子树中的节点数目
        int size_left_subtree = inorder_root - inorder_left;
        // 递归地构造左子树，并连接到根节点
        // 先序遍历中【从左边界+1开始的size_left_subtree】个元素就对应了中序遍历中【从左边界开始到根节点定位-1】的元素
        root->left = myBuildTree(preorder, inorder, preorder_left+1, preorder_left + size_left_subtree, inorder_left, inorder_root-1);
        // 递归地构造右子树，并连接到根节点
        root->right = myBuildTree(preorder,inorder,preorder_left+1+size_left_subtree, preorder_right, inorder_root+1,inorder_right);
        return root;
    }

    TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {

        int n = preorder.size();
        // 构造哈希映射，帮助我们快速定位根节点
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            index[inorder[i]] = i;
        }
        return myBuildTree(preorder, inorder, 0, n - 1, 0, n - 1);
    }
};

 时间复杂度：O(n)，其中n是树中的节点个数。空间复杂度：O(n)，除去返回的答案需要的O(n)空间之外，我们还需要使用O(n)的空间存储哈希映射，以及O(h)（其中h是树的高度）的空间表示递归时栈空间。这里h<n，所以总空间复杂度为O(n)。

解法二（迭代）：

 对于前序遍历中的任意两个连续节点u和v，根据前序遍历的流程，我们可以直到u和v只有两种可能的关系：

1、v是u的左儿子。这是因此在遍历之后，下一个遍历的节点就是u的左儿子，即v；

2、u没有左儿子，并且v是u的某个祖先节点(或者u本身)的右儿子，如果u没有左儿子，那么下一个遍历的节点就是u的右儿子。如果u没有右儿子，我们就会向上回溯，直到遇到第一个有右儿子(且u不在它的右儿子的子树中)的节点ua，那么v就是ua的右儿子。

我们用一个栈stack来维护「当前节点的所有还没有考虑过右儿子的祖先节点」，栈顶就是当前节点。也就是说，只有在栈中的节点才可能连接一个新的右儿子。同时，我们用一个指针index指向中序遍历的某个位置，初始值为0。index对应的节点是「当前节点不断往左走达到的最终节点」，这也是符合中序遍历的，它的作用在下面的过程中会有所体现。

首先我们将根节点3入栈，再初始化index所指向的节点为4，随后对于前序遍历中的每个节点，我们依次判断它是栈顶节点的左儿子，还是栈中某个节点的右儿子。

我们遍历9。9一定是栈顶节点3的左儿子。我们使用反证法，假设9是3的右儿子，那么3没有左儿子，index应该恰好指向3，但实际上为4，因此产生了矛盾。所以我们将9作为3的左儿子，并将9入栈。

    stack = [3, 9]
    index -> inorder[0] = 4

我们遍历8，5和4。同理可得它们都是上一个节点（栈顶节点）的左儿子，所以它们会依次入栈。

    stack = [3, 9, 8, 5, 4]
    index -> inorder[0] = 4

我们遍历10，这时情况就不一样了。我们发现index恰好指向当前的栈顶节点4，也就是说4没有左儿子，那么10必须为栈中某个节点的右儿子。那么如何找到这个节点呢？栈中的节点的顺序和它们在前序遍历中出现的顺序是一致的，而且每一个节点的右儿子都还没有被遍历过，那么这些节点的顺序和它们在中序遍历中出现的顺序一定是相反的。

这是因为栈中的任意两个相邻的节点，前者都是后者的某个祖先。并且我们知道，栈中的任意一个节点的右儿子还没有被遍历过，说明后者一定是前者左儿子的子树中的节点，那么后者就先于前者出现在中序遍历中。

    因此我们可以把index不断向右移动，并与栈顶节点进行比较。如果index对应的元素恰好等于栈顶节点，那么说明我们在中序遍历中找到了栈顶节点，所以将index增加1并弹出栈顶节点，直到index对应的元素不等于栈顶节点。按照这样的过程，我们弹出的最后一个节点x就是10的双亲节点，这是因为10出现在了x与x在栈中的下一个节点的中序遍历之间，因此10就是x的右儿子。

    回到我们的例子，我们会依次从栈顶弹出4，5和8，并且将index向右移动了三次。我们将10作为最后弹出的节点8的右儿子，并将10入栈。
        stack = [3, 9, 10]
        index -> inorder[3] = 10

    我们遍历20。同理，index恰好指向当前栈顶节点10，那么我们会依次从栈顶弹出10，9和3，并且将index向右移动了三次。我们将20作为最后弹出的节点3的右儿子，并将20入栈。
        stack = [20]
        index -> inorder[6] = 15

    我们遍历15，将15作为栈顶节点20的左儿子，并将15入栈。
        stack = [20, 15]
        index -> inorder[6] = 15

    我们遍历7。index恰好指向当前栈顶节点15，那么我们会依次从栈顶弹出15和20，并且将index向右移动了两次。我们将7作为最后弹出的节点20的右儿子，并将7入栈。
        stack = [7]
        index -> inorder[8] = 7

此时遍历结束，我们就构造出了正确的二叉树。我们归纳出上述例子中的算法流程：

    我们用一个栈和一个指针辅助进行二叉树的构造。初始时栈中存放了根节点（前序遍历的第一个节点），指针指向中序遍历的第一个节点；

    我们依次枚举前序遍历中除了第一个节点以外的每个节点。如果index恰好指向栈顶节点，那么我们不断地弹出栈顶节点并向右移动index，并将当前节点作为最后一个弹出的节点的右儿子；如果index和栈顶节点不同，我们将当前节点作为栈顶节点的左儿子；

    无论是哪一种情况，我们最后都将当前的节点入栈。

最后得到的二叉树即为答案。如下为实现代码：

class Solution {
public:
    TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {
        if (!preorder.size()) {
            return nullptr;
        }
        TreeNode* root = new TreeNode(preorder[0]);
        stack<TreeNode*> stk;
        stk.push(root);
        int inorderIndex = 0;
        for (int i = 1; i < preorder.size(); ++i) {
            int preorderVal = preorder[i];
            TreeNode* node = stk.top();
            if (node->val != inorder[inorderIndex]) {
                node->left = new TreeNode(preorderVal);
                stk.push(node->left);
            }
            else {
                while (!stk.empty() && stk.top()->val == inorder[inorderIndex]) {
                    node = stk.top();
                    stk.pop();
                    ++inorderIndex;
                }
                node->right = new TreeNode(preorderVal);
                stk.push(node->right);
            }
        }
        return root;
    }
};

笔者小记：

1、掌握二叉树前序遍历和中序遍历的过程；

2、掌握二叉树构建时，通过递归和迭代的方式添加二叉树新节点的代码书写思路。

3、通过递归方式添加二叉树新节点时有两种方式，第一种：通过TreeNode*& root，引用的方式，root=new TreeNode(value)，以及递归调用root->left和root->right传入到void的递归嵌套函数中，并返回return。第二种：return返回值的形式，root->left=递归嵌套返回值，root->rigth=递归嵌套函数返回值，其中嵌套函数返回值类型为TreeNode。

4、前序遍历和中序遍历都可以通过栈来实现迭代方法，栈的作用是在遍历过程中显示地模拟递归调用的行为（显示的递归栈）。