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算法基础（思想）

news 来源：原创 2025/5/16 0:51:58

ACM多组数据的处理、求最大公约数的欧几里得算法、快速幂运算，以及求解循环节等问题

一、输入

问题：输入不说明有多少个Input Block

1.EOF为结束标志

EOF是-1

因为scanf返回值是成功读取数据的个数

此例子中，scanf返回的是2；2！=-1，因此while执行

当所有的数都读取完了，scanf返回-1，while结束

C语言：
#include <stdio.h>
int main()
{
    int a, b;
    while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF)
        printf("%d\n", a + b);
    return 0;
}
C++：
while(cin >> a >> b)
{
     ......

}
2. 判断是否等于读取的个数

由scanf的含义，直接判断个数
#include <stdio.h>
int main()
{
    int a, b;
    while (scanf("%d %d", &a, &b) == 2)
        printf("%d\n", a + b);
    return 0;
}

问题：输入不说明有多少个Input Block，但以某个特殊输入为结束标志

推荐用 if 语句

#include <stdio.h>
int main()
{
    int a, b;
    while (scanf("%d%d", &a, &b) == 2)
    {
        if (a == 0 && b == 0) break;
        printf("%d\n", a + b);
    }
    return 0;
}

问题：输入一整行字符串

C语言（不推荐使用 `gets`）：
#include <stdio.h>

int main()

{
    char buf[20];
    gets(buf); // 不推荐使用，因为存在缓冲区溢出的风险
    printf("%s\n", buf);
    return 0;
}
C++语言示例（推荐使用 `getline`）：
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int main()

{
    string buf;
    getline(cin, buf); // 使用 std::getline 读取字符串
    cout << buf << endl;
    return 0;
}
C++语言示例（使用字符数组）：
#include <iostream>
using namespace std;

int main()

{
    char buf[255];
    cin.getline(buf, 255); // 使用 cin.getline 读取字符数组
    cout << buf << endl;
    return 0;
}
gets 在C语言中是不安全的，因为它不检查输入的长度，容易导致缓冲区溢出。

在C++中，推荐使用 `std::getline` 或 `cin.getline` 来安全地读取字符串。

二、输出

注意输出空行、空格、无空格的细节。

三、算法做题思想

1.时刻注意数据溢出

给定一个正整数 nn，请计算 2+3+…+n2+3+…+n 的结果，其中 n<50000。

Sample input:
10
Sample output:
55

法一：暴力——循坏——超时

法二：公式——爆int（超过int范围）

解决爆int：1.long long 类型 %lld （64位整数）2.高精度等

2.转化问题——问题简单化

给定两个正整数，计算这两个数的最小公倍数。
样例输入：

10 14
4 6
样例输出：
70
12

法一：暴力——数据大会超时

法二：公式——lcm(A,B)=A*B/gcd(A,B)

注：公式先乘后除会爆int，因为：乘后可能会超范围 避免爆int：先除后乘

由此，求最小公倍数变为求最大公倍数gcd(A,B)——辗转相除法（欧几里得算法）

辗转相除法：

x是要求的gcd

①10和14都是x的倍数

②把14分为10和4，那么4也是x的倍数

证明：10=ax；14=bx；(10+4)=bx；ax+4=bx；4=(a-b)x;

③求10和14的gcd可以转变为10和4的gcd

以此类推：

int gcd(int da, int xiao)//不用在乎da和xiao的顺序：会交换回来
{
    int temp;
    while (xiao != 0)
    {
        temp = da % xiao;
        da = xiao;
        xiao = temp;
    }
    return da;
}

3.寻找循环节规律

给定一个正整数 N ，请计算 N 个 N 相乘的结果的个位数是多少（1<=N<=1000000000）。

Sample Input
3
Sample Output
7

法一：纯暴力枚举法——超时

法二：微暴力——每次模10再乘N——可能超时

法三：找规律：

每次个位存起来，什么时候循环了就记循环量，然后直接求余。

个位0~9中，0 1 5 6的次方为它本身

每个数的循环节个数不同，有1、2、4个。可以都按4算

有一种Fibonacci数列，定义如下：

F(0) = 7

F(1) = 11,

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

给定一个n(n < 1,000,000)，请判断F(n)能否被3整除，分别输出yes和no。

变换： f(n)%3——（F(n-1) + F(n-2))%3——F(n-1)%3 + F(n-2)%3

每个f%3后发现规律：1 2 0 2 2 1 0 1 1 2 0 2

1 2 0 2 2 1 0 1 为一个循环节

求A^B(A的B次方)的最后三位数表示的整数（1 <= A, B <= 1000000000）

Sample Input
2 3
12 6

Sample Output
8
984

法一：暴力

法二：快速幂算法（二分加速）

把123^234=(123^2)^117

递归：

int power(int a, int n)
{
    int ans;
    if(n == 0) ans = 1;    // 结束条件
    else
    {
        ans = power(a * a, n / 2);    // 递归调用
        if(n % 2 == 1) ans *= a;    // n为奇数
    }
    return ans;
}

循环：

int power(int a, int n)
{
    int ans = 1;
    while (n)
    {
        if (n % 2) ans = ans * a; // 奇数情况
        a = a * a; // 底数平方
        n = n / 2; // 指数减半
    }
    return ans;
}