25.7.16 25.7.17 每日一题——找出有效子序列的最大长度 I/II

Description

定义有效子序列 $sub=$
$$(sub[0]+sub[1])\mathrm{mod}k=(sub[1]+sub[2])\mathrm{mod}k=...=(sub[n-2]+sub[n-1])\mathrm{mod}k$$
（$n$ 为长度）
让我们最大化 $n$。

Solution

对于等式
$$(a+b)\mathrm{mod}m=(b+c)\mathrm{mod}k$$
移项，得
$$(a+b-(b+c))\mathrm{mod}k=0$$
化简得
$$(a-c)\mathrm{mod}k=0$$
这意味着 $a$ 与 $c$ 模 $k$ 同余。即题目式子中的 $sub[i]$ 与 $sub[i+2]$ 模 $k$ 同余。

如果把每个 $nums[i]$ 都改成 $nums[i]\mathrm{mod}k$，问题等价于：

• 求最长子序列的长度，该子序列的奇数项都相同，偶数项都相同。

如果确定了子序列的最后两项，就确定了整个子序列。

那么我们可以从左到右遍历 $nums$，遍历的同时，维护一个二维数组 $f[y][x]$，表示最后两项模 $k$ 分别为 $y$ 和 $x$ 的子序列的长度。

对于 $x=nums[i]\mathrm{mod}k$，我们可以在最后两项模 $k$ 分别为 $x$ 和 $y$ 的子序列的末尾添加 $nums[i]$，那么最后两项模 $k$ 分别为 $y$ 和 $x$ 的子序列的长度会增加 1，即
$$f[y][x]=f[x][y]+1$$
最后答案为 $f$ 中的最大值。
（其中有些讲解取自大神灵茶山艾府，感谢他）

昨天的题就是 $k=2$的情况，直接cv就行……

Code1（C++、Python3）

C++

class Solution {
public:int maximumLength(vector<int>& nums) {int ans = 0;vector f(2, vector<int>(2));for (int x : nums) {x %= 2;for (int y = 0; y < 2; y++) {f[y][x] = f[x][y] + 1;ans = max(ans, f[y][x]);}}return ans;}
};

Python3

class Solution:def maximumLength(self, nums: List[int]) -> int:ans = 0f = [[0] * 2 for _ in range(2)]for x in nums:x %= 2for y in range(2):f[y][x] = f[x][y] + 1ans = max(ans, f[y][x])return ans

Code2（C++、Python3）

C++

class Solution {
public:int maximumLength(vector<int>& nums, int k) {int ans = 0;vector f(k, vector<int>(k));for (int x : nums) {x %= k;for (int y = 0; y < k; y++) {f[y][x] = f[x][y] + 1;ans = max(ans, f[y][x]);}}return ans;}
};

Python3

class Solution:def maximumLength(self, nums: List[int], k: int) -> int:ans = 0f = [[0] * k for _ in range(k)]for x in nums:x %= kfor y in range(k):f[y][x] = f[x][y] + 1ans = max(ans, f[y][x])return ans

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