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小波变换 | 连续小波变换

news 2025/7/15 8:21:17

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小波变换连续小波变换

小波变换是一种时–频分析工具，它通过“局部化”的方式同时刻画信号在时域和频域的特征，克服了傅里叶变换对时间信息丢失的不足。

母小波与子小波

小波变换的核心是母小波（mother wavelet） 函数 $Ψ(t)\Psi(t)$ ，可以位于复数域，也可以是实数域。将母小波 $Ψ(t)\Psi(t)$ 通过尺度（scale）和平移（translation）变换，其中尺度参数为 $a > 0$ 和平移参数为 $\in \mathbb{R}$ 。最终生成一族子小波函数：

$\Psi_{a,b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}}\Psi(\frac{t-b}{a})$

参数 $a$ ：决定小波是更窄（ $a < 1$ 时，对应高频细节）还是更宽（ $a > 1$ 时，对应低频轮廓）。
参数 $b$ ：控制小波在时域上向右平移了多少。
系数 $1a\frac{1}{\sqrt{a}}$ ：为能量归一化因子，保证 $∥Ψa,b∥2=∥Ψ∥2=1\|\Psi_{a,b}\|_2 = \|\Psi\|_2 = 1$ ，从而确保不同尺度的小波能量一致，才能公平地在各尺度上比较信号的局部特征。

连续小波系数

之后再用这些子小波函数（又称为基函数）去匹配（内积）信号，得到在不同尺度和不同位置上的连续小波系数（continuous wavelet coefficient） $W_{f}(a,b)$ ，从而反映信号的局部时频特征。

对于任意的 $\in L^2(\mathbb{R})$ ，其连续小波变换定义为：

这里的 $L2(R)L^2(\mathbb{R})$ 符号表示所有定义在实数轴上的“平方可积”函数所组成的函数空间。即“可以用能量（平方积分）来衡量大小”的函数集合，是我们做时–频分析时最常用的信号空间。

$W_{f}(a,b) = \langle f(t), \Psi_{a,b}(t) \rangle = \int^{\infty}_{-\infty} f(t) \overline{\Psi_{a,b}(t)} dt$

这里的 $Ψ‾\overline{\Psi}$ 表示母小波函数 $Ψ\Psi$ 的复共轭（complex conjugate）。因为这里用了更一般的形式，即在平方可积函数空间中，两个函数 $f, g$ 的内积通常定义为：

$\langle f,g \rangle = \int^{\infty}_{-{\infty}} f(t) \overline{g(t)} dt$

小波变换正是将信号 $f$ 在不同尺度和平移下与母小波 $Ψ\Psi$ 做内积，因此需要对 $Ψ\Psi$ 取共轭。

实值小波（如 Haar 小波），母小波是实数函数，取共轭并不改变数值，但依然保留了统一的内积形式。
复值小波（如 Morlet、Gabor 等），共轭操作则必不可少，用来提取信号在复小波上的振幅和相位信息。

逆变换

若母小波函数 $Ψ(t)\Psi(t)$ 满足容许条件，即其傅里叶变换 $Ψ^(w)\hat{\Psi}(w)$ 满足如下条件：

$CΨ=∫−∞∞∣Ψ^(w)∣2∣w∣dw<∞ C_{\Psi} = \int^{\infty}_{-\infty} \frac{| \hat{\Psi}(w) |^2}{|w|} dw < \infty$

此时则存在小波变换存在逆变换：

$W_{f}(a,b) = \int^{\infty}_{-\infty} f(t) \overline{\Psi_{a,b}(t)} dt \Leftrightarrow f(t) = \frac{1}{C_{\Psi}} \int^{\infty}_{0} \int^{\infty}_{-\infty} W_f(a,b) \Psi_{a,b}(t) db \frac{da}{a^2}$

卷积实现

小波系数计算与这里的两个连续信号 $f (t)$ 和 $Ψ(t)\Psi(t)$ 之间的卷积有关。首先这两个信号自身的卷积可以定义为：

$\Psi)(b) = \int f(t) \Psi(b-t) dt$

为了将原始形式适配卷积形式，需要进行改写，做一次时间翻转和尺度放缩：

$Wf(a,b)=1a∫−∞∞f(t)Ψ(t−ba)‾dt=∫−∞∞f(t)Ψa(b−t)‾dt(Ψa(t)=1aΨ(−ta))=(f∗Ψa‾)(b)(基于卷积的实现)=F−1[f^(w)Ψ^a(w)‾](b)(卷积定理：F[f∗Ψa]=F[f]⋅F[Ψa‾])=F−1[f^(w)aΨ^(aw)](b)(基于频域的变量替换:Ψ^a(w)→aΨ^(aw)‾) \begin{aligned} W_{f}(a,b) & = \frac{1}{\sqrt{a}} \int^{\infty}_{-\infty} f(t) \overline{\Psi(\frac{t-b}{a})} dt \\ & = \int^{\infty}_{-\infty} f(t) \overline{\Psi_a(b-t)} dt & (\Psi_a(t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \Psi(-\frac{t}{a})) \\ & = (f * \overline{\Psi_a})(b) & (基于卷积的实现) \\ & = \mathcal{F}^{-1} [ \hat{f}(w) \overline{ \hat{\Psi}_a (w)} ] (b) & (卷积定理：\mathcal{F}[f*\Psi_a] = \mathcal{F}[f] \cdot \mathcal{F}[\overline{\Psi_a}]) \\ & = \mathcal{F}^{-1} [ \hat{f}(w) \sqrt{a} \hat{\Psi}(aw) ](b) & (基于频域的变量替换: \hat{\Psi}_a(w) \rightarrow \sqrt{a}\overline{\hat{\Psi}(aw)}) \end{aligned}$

对应的反变换形式如下：

$f(t)=1CΨ∫0∞∫−∞∞Wf(a,b)1aΨ(t−ba)dbdaa2=1CΨ∫0∞[∫−∞∞Wf(a,b)Ψa(t−b)db]daa2(Ψa(t)=1aΨ(ta))=1CΨ∫0∞[(Wf(a,⋅)∗Ψa)(t)]daa2=1CΨ∫0∞F−1[(Wf(a,w)Ψ^a(w)]daa2=1CΨ∫0∞F−1[(Wf(a,w)aΨ^(aw)]daa2(基于频域的变量替换:Ψ^a(w)→aΨ^(aw)) \begin{aligned} f(t) & = \frac{1}{C_{\Psi}} \int^{\infty}_{0} \int^{\infty}_{-\infty} W_f(a,b) \frac{1}{\sqrt{a}}\Psi(\frac{t-b}{a}) db \frac{da}{a^2} \\ & = \frac{1}{C_{\Psi}} \int^{\infty}_{0} \left [ \int^{\infty}_{-\infty} W_f(a,b) \Psi_a(t-b) db \right ] \frac{da}{a^2} & (\Psi_{a}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \Psi(\frac{t}{a})) \\ & = \frac{1}{C_{\Psi}} \int^{\infty}_{0} \left [ (W_f(a, \cdot) * \Psi_a)(t) \right ] \frac{da}{a^2} \\ & = \frac{1}{C_{\Psi}} \int^{\infty}_{0} \mathcal{F}^{-1} \left [ (W_f(a, w) \hat{\Psi}_a(w) \right ] \frac{da}{a^2} \\ & = \frac{1}{C_{\Psi}} \int^{\infty}_{0} \mathcal{F}^{-1} \left [ (W_f(a, w) \sqrt{a} \hat{\Psi}(aw) \right ] \frac{da}{a^2} & (基于频域的变量替换: \hat{\Psi}_a(w) \rightarrow \sqrt{a}{\hat{\Psi}(aw)}) \\ \end{aligned}$