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洛谷 P11961 [GESP202503 五级] 原根判断-提高+/省选-

news 2025/7/13 9:24:25

题目背景

截止 2025 年 3 月，本题可能超出了 GESP 考纲范围。在该时间点下，原根是 NOI 大纲 8 级知识点（NOI 级），而相对简单的无需原根知识的做法中，使用的费马小定理与欧拉定理也属于 NOI 大纲 7 级知识点（提高级），且均未写明于 GESP 大纲中。需要注意，GESP 大纲和 NOI 大纲是不同的大纲。

若对题目中原根这一概念感兴趣，可以学习完成【模板】原根。

题目描述

小 A 知道，对于质数 $p$ 而言， $p$ 的原根 $g$ 是满足以下条件的正整数：

$1 < g < p$ ；
$gp−1modp=1g^{p-1}\bmod{p}=1$ ；
对于任意 $1≤i<p−11\le i<p-1$ 均有 $gimodp≠1g^i\bmod{p}\neq1$ 。

其中 $amodpa\bmod{p}$ 表示 $a$ 除以 $p$ 的余数。

小 A 现在有一个整数 $a$ ，请你帮他判断 $a$ 是不是 $p$ 的原根。

输入格式

第一行，一个正整数 $T$ ，表示测试数据组数。

每组测试数据包含一行，两个正整数 $a, p$ 。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行，如果 $a$ 是 $p$ 的原根则输出 Yes，否则输出 No。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
3 998244353
5 998244353
7 998244353

输出 #1

Yes
Yes
No

说明/提示

数据范围

对于 $40%40\%$ 的测试点，保证 $3≤p≤1033\le p\le10^3$ 。

对于所有测试点，保证 $1≤T≤201\le T\le20$ ， $3≤p≤1093\le p\le10^9$ ， $1 < a < p$ ， $p$ 为质数。

solution

根据费马小定理 $gp−1modp=1g^{p-1}\bmod{p}=1$ 恒成立，如果 $gtmodp=1g^{t}\bmod{p}=1$
则 t 是 p - 1的因子，所以只需要判断 p - 1 的因子即可

代码

#include <iostream>
#include "bit"
#include "vector"
#include "unordered_set"
#include "set"
#include "queue"
#include "algorithm"
#include "bitset"using namespace std;int n, a, p, k;int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a >> p;long long x = a;for (k = 2; k * k <= p - 1; k++) {if((p - 1) % k == 0){int y = (p - 1) / k;x = x * a % p; // a ^ y = ? 1if(x == 1){break;}// a ^ k = ? 1long long t = 1, z = a;while (y){if(y & 1) t = t * z % p;z = z * z % p;y /= 2;}if(t == 1){break;}}}if(k * k > p - 1) cout << "Yes\n";else cout << "No\n";}}