算法日记19：SC71多元最短路(Floyd)
一、题目：
二、题解：
1、我们一眼就可以看出这是一道多源最短路的题目，因此直接套用Floyd模板即可
2、Floyd原理解析
2.1：假设现在我们有这样一个图，要求我们求任意两个顶点的距离
2.2：对于这个样例，我们使用Floyd来做的步骤如下：（顺序不能改变！！）
- 其中，我们并不关心两个点之间是怎么连接的，仅仅只是枚举所有情况，查看是否有其他情况使得两个点之间的路径更小
2.3：也就是意味着我们要使用
O
O
O(n3)的时间复杂度，因此点/边的数量级一般<1e3
我们并不证明公式的正确性，背下模板即可
三、代码解析如下：
3.1:代码分块解析
它的核心思想是通过多次迭代来更新路径，逐步得到图中任意两点的最短距离。下面是详细分块解释：
1. 常量与类型定义
typedef long long ll;
const int N=307;
ll dis[N][N]; //表示从i-->j的距离
typedef long long ll;：定义ll为long long类型的别名，简化代码书写。const int N=307;：定义常量N为 307，表示最多有 307 个节点。这个值是预设的最大节点数，通常会根据问题要求进行调整。ll dis[N][N];：定义一个二维数组dis，用来存储节点间的最短距离，dis[i][j]表示从节点i到节点j的最短距离。
2. solve() 函数
void solve()
{
ll n,m,q;cin>>n>>m>>q;
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
ll n,m,q;cin>>n>>m>>q;：输入图的节点数n，边数m，以及询问次数q。memset(dis,0x3f,sizeof(dis));：初始化dis数组，填充为一个非常大的值（0x3f3f3f3f），表示初始状态下所有节点之间的距离都是无穷大，除非通过边连接。0x3f3f3f3f代表一个足够大的值，用于模拟“无穷大”。在后面的计算中，任何距离小于这个值的都会被替代。
3. 输入边的信息并更新距离
for(int i=1;i<=m;i++)
{
ll ui,vi,wi;cin>>ui>>vi>>wi;
dis[ui][vi]=min(dis[ui][vi],wi); //对重边/自环的处理
}
for(int i=1;i<=m;i++)：循环处理每一条边。cin>>ui>>vi>>wi;：输入边的信息，ui和vi是节点，wi是边的权重。dis[ui][vi]=min(dis[ui][vi],wi);：更新dis数组中dis[ui][vi]的值，如果已经有路径存在，取最小值。这样可以处理重边或自环的情况，即如果两点之间有多个边，则选择权重最小的那个边。
4. 初始化对角线
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;
- 这里将每个节点到自身的距离设置为 0，因为任何节点到自身的最短路径显然是 0。
5. Floyd算法核心
for(int k=1;k<=n;k++)//中转点
for(int i=1;i<=n;i++) //起始点
for(int j=1;j<=n;j++) //指向点
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
- 这部分实现了 Floyd-Warshall 算法的核心逻辑。
k是中转点，表示通过k来更新其他节点之间的最短路径。- 外层的
i表示起始点，内层的j表示目标点。 dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);这个公式的含义是，如果从i到j的路径通过k节点更短，则更新dis[i][j]的值。通过三重循环对每一对节点(i, j)进行更新，遍历所有可能的中转点k。
6. 处理询问
while(q--) //q次询问
{
ll ui,vi;cin>>ui>>vi;
if(dis[ui][vi]>=4e18) cout<<-1<<'\n';
else cout<<dis[ui][vi]<<'\n';
}
}
while(q--)：处理每次询问，询问次数为q。cin>>ui>>vi;：输入一对节点ui和vi。if(dis[ui][vi]>=4e18)：如果dis[ui][vi]的值大于等于一个非常大的值4e18（即无穷大），说明这两点之间不可达，输出-1。else cout<<dis[ui][vi]<<'\n';：否则，输出dis[ui][vi]，即节点ui到节点vi的最短距离。
3.2:完整代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=307;
ll dis[N][N]; //表示从i-->j的距离
void solve()
{
ll n,m,q;cin>>n>>m>>q;
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
for(int i=1;i<=m;i++)
{
ll ui,vi,wi;cin>>ui>>vi>>wi;
dis[ui][vi]=min(dis[ui][vi],wi); //对重边/自环的处理
}
//初始化
for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;
for(int k=1;k<=n;k++)//中转点
for(int i=1;i<=n;i++) //起始点
for(int j=1;j<=n;j++) //指向点
dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
while(q--) //q次询问
{
ll ui,vi;cin>>ui>>vi;
if(dis[ui][vi]>=4e18) cout<<-1<<'\n';
else cout<<dis[ui][vi]<<'\n';
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
int _=1;
while(_--)solve();
return 0;
}