AVL平衡二叉树

01. 初始AVL树

AVL树是最早发明的自平衡二叉搜索树。在AVL树中，任何节点的两个子树的高度差（平衡因子）最多为1，这使得AVL树能够保持较好的平衡性，从而保证查找、插入和删除操作的时间复杂度都是O(log n)。

包含n个节点的AVL树的高度始终保持在O(log n)

---

02. AVL树的结构

AVL 树在原 二叉搜索树 的基础上添加了 平衡因子 bf 以及用于快速向上调整的 父亲指针 parent，所以 AVL 树是一个三叉链结构。

2.1 AVL树节点定义

template <class K, class V>
struct AVLTreeNode // 定义借点类型
{AVLTreeNode(const std::pair<K, V> kv): _parent(nullptr), _left(nullptr), _right(nullptr), _kv(kv), _bf(0){}AVLTreeNode<K, V> *_parent;AVLTreeNode<K, V> *_left;AVLTreeNode<K, V> *_right;//这里并没有直接存储数据K，和V，而是像map那样将其封装成一个pair<K,V>类型。std::pair<K, V> _kv; // 存储键值对int _bf;             // 平衡因子
};

那么在AVLTree类方法实现只需创建一个AVLTreeNode<K,V>*类型的_root根节点。

规定： 当前实现的平衡因子，规定差值为 右 - 左，因此如果右子树增高，_bf++，左子树增高 _bf–，具体操作将在后面体现。

---

2.2 AVL树的方法

template<class K,class V>
class AVLTree{typedef TreeNode<K, V> Node;
public://插入bool insert(const pair<K, V> kv) {}//查找bool find(const K& kev) {}//中序遍历void order() {}void RotateR(Node* parent) {}	//右单旋void RotateL(Node* parent) {}	//左单旋void RRotateRL(Node* parent) {}	//右左双选void RotateLR(Node* parent) {}	//左右双选void order(Node* root) {}	//中序遍历private:Node* _root;
};

---

03. AVL树的插入

3.1插入过程

对于avl树的插入，实际是在二叉搜索树基础之上，增加了更新平衡因子和在这个过程中进行旋转调整的过程。

1. 空树检查
   • 若树为空 (_root == nullptr)，直接创建新节点作为根节点，返回 true
2. 搜索插入位置
   • 从根节点开始比较 key：
     • key < 当前节点：向左子树搜索
     • key > 当前节点：向右子树搜索
     • key == 当前节点：键已存在，返回 false
3. 插入新节点
   • 创建新节点并链接到父节点：
     • key < 父节点：作为左孩子插入
     • key > 父节点：作为右孩子插入
4. 平衡因子更新与调整（下面完成）

• 更新平衡因子，然后判断是否需要进行旋转调整高度

---

bool Insert(const std::pair<K, V> kv){if (_root == nullptr){                         // 树中没有任何节点，直接new_root = new Node(kv); // 未使用Node(key, value)，而是采用简直对的形式return true;}// 不为空树时的操作,找到插入点Node *parent = nullptr;Node *cur = _root;while (cur){if (kv.first < cur->_kv.first){ // 左走parent = cur;cur = cur->_left;}else if (kv.first > cur->_kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}elsereturn false;} // 退出的时候找到,即找到叶节点仍需要判断往那边走，插入数据(cur==null)// 创建新节点插入cur = new Node(kv);if (kv.first < parent->_kv.first0){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//控制平衡//1、更新平衡因子----更新新增节点到根节点的祖先路径//2、出现异常平衡因子，那么需要旋转平衡处理while (parent) {if (cur == parent->_right)parent->_bf++;elseparent->_bf--;if (parent->_bf == 0) {break;}else if (abs(parent->_bf) == 1) {//继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (abs(parent->_bf) == 2) {//旋转处理if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) {RotateR(parent);//右单旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) {RotateL(parent);//左单旋}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);//左右双旋}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);//右左双旋}else{assert(false);}break;}else {//说明插入更新平衡因子之前，树中平衡因子就有问题了assert(false);}} return true;}

---

3.1 左单旋

左单旋适用场景：

  P (_bf=+2)\							    C (_bf=0)C (_bf=+1)     调整为    		 /	   \\						     P       RR							  (_bf=0)

当插入10的时候出现不平衡。

左单旋：

1. 确定parent，subR，subRL
2. 使subRL成为parent右孩子
3. subR左孩子变为parent
4. 注意pparent的更新，和paarent为根节点情况

    void RotateL(Node *parent){ // parent在_bf=2处Node *subR = parent->_right;Node *subRL = subR->_left;// 先将subR的左孩子交给parentparent->_right = subRL;if (subRL != nullptr){subRL->_parent = parent;}Node *pparent = parent->_parent;//保存parent的父节点，确保更新平衡因子subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (_root == parent){//是否是根节点subR->_parent = nullptr;_root = subR;}else{if (pparent->_right == parent){pparent->_right = parent;}else{pparent->_left = subR;}subR->_parent = pparent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

注意事项

1. 空指针检查：
   • subRL 可能为 nullptr，需判断后再操作其父指针
2. 根节点更新：
   • 若 parent 是根节点，旋转后需更新 _root 指向 subR
3. 平衡因子重置：
   • 左单旋后，parent 和 subR 的平衡因子必为 0

---

3.2 右单旋

          P (_bf=-2)/						   C (_bf=0)C (_bf=-1)				 /	   \/						L	   PL (_bf=0)					  (_bf=-0)

当插入10的时候出现不平衡。

右单旋：

1. 确定parent，subL，subLR
2. 使subLR成为parent左孩子
3. subR右孩子变为parent
4. 注意pparent的更新，和paarent为根节点情况

//右单旋
void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//先将 subL 的右孩子移交给父亲parent->_left = subLR;if (subLR != nullptr)subLR->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//再将父亲移交给 subL，subL 成为新父亲if (parent == _root){//如果原父亲为根，那么此时需要更新 根subL->_parent = nullptr;_root = subL;}else{//单纯改变链接关系if (pparent->_right == parent)pparent->_right = subL;elsepparent->_left = subL;subL->_parent = pparent;}//更新平衡因子parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

注意事项

1. 空指针检查：
   • subLR 可能为 nullptr，需判断后再操作其父指针。
2. 根节点更新：
   • 若 parent 是根节点，旋转后需更新 _root 指向 subL。
3. 平衡因子重置：
   • 右单旋后，parent 和 subL 的平衡因子必为 0。

---

3.3 右左单旋

//右左双旋
void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int BF = subRL->_bf;//先右单旋RotateR(subR);//再左单旋RotateL(parent);//根据不同的情况更新平衡因子if(BF == 0){parent->_bf = subR->_bf = 0;}else if (BF == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (BF == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else{//非法情况std::cerr << "此处的平衡因子出现异常!" << std::endl;assert(false);	//直接断言报错}
}

右左单旋：

1. 右单旋：
   1. 确定 parent、subR、subRL
   2. 将subRL的右子树变为 subR左子树，parent右子树为subRL左子树
   3. subRL向上提

平衡因子调整（分三类）

情况	subRL->_bf	调整后平衡因子	触发条件
情况1	0	parent = subR = subRL = 0	新节点是 subRL 自身
情况2	-1	parent = 0, subR = +1, subRL = 0	新节点在 subRL 左子树
情况3	+1	parent = -1, subR = 0, subRL = 0	新节点在 subRL 右子树

---

3.4 左右双旋

右左双旋和左右双旋逻辑非常像，这里就不演示了，直接看代码实现：

//左右双旋
void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int BF = subLR->_bf;//先左单旋RotateL(subL);//再右单旋RotateR(parent);//根据不同的情况更新平衡因子if (BF == 0){parent->_bf = subL->_bf = 0;}else if (BF == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (BF == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{//非法情况std::cerr << "此处的平衡因子出现异常!" << std::endl;assert(false);	//直接断言报错}
}

---

3.5 AVL查找

	//查找bool find(const K& kv) {Node* ptail = _root;while (ptail){if (kv.first > ptail->_kv->first){ptail = ptail->_right;}else if (kv.first < ptail->_kv->first){ptail = ptail->_left;}else{return true;}}return false;}

---