P1484 种树，特殊情形下的 WQS 二分转化。

原题：link，点击这里喵。

题意：P1484 种树。

将军今天在种树，他在一条直线上挖了 $n$ 个坑。这 $n$ 个坑都可以种树，但为了保证每一棵树都有充足的养料，将军不会在相邻的两个坑中种树。而且由于将军的树种不够，他至多会种 $k$ 棵树。将军有某种神能力，能预知自己在某个坑种树的获利会是多少（可能为负），请你帮助他计算出他的最大获利。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 300000$，$1\le k\le \frac{n}{2}$，在一个地方种树获利的绝对值在 $10^6$ 以内。

解法：WQS 二分。

首先，如果没有 $k$ 的限制，我们可以很轻松的推出 $dp$ 方程式，设 $d{p}_i$ 为种到第 $i$ 个坑的最大收益，我们有：$$d{p}_i=\max (d{p}_{i-2}+v_i,d{p}_{i-1})$$
注意自行判断边界条件即可。

运用套路二分惩罚（斜率）$c$，把每一个坑的收益减去 $c$，了解此时所选的数量。不过有一点很特别，不同于以往的恰好，题目中是至多。

这该怎么办？

我们定义一次惩罚为 $c$ 的操作为 $\mathrm{solve}(c)$。

在程序开始时，我们先执行一次 $\mathrm{solve}(0)$，如果其返回值告诉我们它选择了 $cnt$ 个树坑：

• $cnt<=k$，函数极值的横坐标小于等于 $k$，意味着可以直接输出答案，因为右侧的斜率 $c<=0$。
• $cnt>k$，归约到正常的 WQS 二分问题，此时函数在 $k$ 限制下的极值的横坐标为 $k$，所以套用恰好模型。

可以参照下面的图片参照理解。


为了防止有相同的斜率产生，我们还需要统计 $\mathrm{solve}(0)$ 中，$v-c=0$ 的 $v$ 个数（这个是在 $dp$ 过程中计入的 $0$ 的个数），记为 $\_cnt$，因为 $0$ 不对 $dp$ 的值产生变化，所以我们直接在统计答案时加上其个数并与 $k$ 取 $\min$ 即可。

代码 time。

#include <bits/stdc++.h>#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long lnt;using namespace std;const int N = 2e6 + 10;struct DATA { // 这样写方便也省事int cnt, _cnt;lnt v;DATA() = default;DATA(int cntp, int _cntp, lnt _v) : cnt(cntp), _cnt(_cntp) , v(_v){}bool operator<(const DATA &a) const { return v < a.v; }DATA operator+(const DATA &a) const {return DATA(cnt + a.cnt, _cnt + a._cnt, v + a.v);}
};
vector<DATA> dp, d, v;int n, k;DATA solve(int c) {v = d;for (int i = 0; i < n; ++i) {v[i].v -= c;if (v[i].v < 0) v[i].cnt = 0, v[i].v = 0;else if(v[i].v == 0) v[i]._cnt = 1, v[i].cnt = 0;dp[i] = {0, 0, 0};}DATA ans = DATA(0, 0, 0);for (int i = 0; i < n; ++i) {dp[i] = (i - 2 >= 0 ? dp[i - 2] : DATA(0, 0, 0)) + v[i];if (i) dp[i] = max(max(dp[i], dp[i - 1]), DATA(0, 0, 0));ans = max(ans, dp[i]);}return ans;
}int main() { //scanf("%d%d", &n, &k);dp.resize(n), d.resize(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%lld", &d[i].v);d[i].cnt = 1;}DATA g = solve(0);if (g.cnt <= k) {printf("%lld\n", g.v);return 0;}int l = -1, r = 1e6 + 10;lnt ans = 0;while (l < r - 1) {int mid = (l + r) >> 1;DATA g = solve(mid);if (g.cnt <= k) {ans = max(ans, (lnt)min(g.cnt + g._cnt, k) * mid + g.v); // 注意这里 ！r = mid;} else if (g.cnt > k) {l = mid;}}printf("%lld\n", ans);return 0;
}