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【拓扑空间】示例及详解4

news 2025/7/12 6:45:46

例1

例2

例3

例4

例5

例6

例1

规定实数集R上的子集族 $\tau=\left \{ (-\infty ,a):-\infty \leq a\leq\infty \right \}$ $(if\ a=-\infty,(-\infty,a)=\varnothing;if\ a=\infty,(-\infty,a)=R)$ 证明是R上的一个拓扑

Proof:

1. $\varnothing ,R\in \tau$

2. $let \left \{ u_\alpha=(-\infty,\alpha):\alpha \in A \right \}$

$if \ A \ has\ sup, \cup u_\alpha =(-\infty,M)\in\tau,M=sup\left \{ A \right \}$

$if \ A \ dose \ not \ have \ sup, \cup u_\alpha =R\in\tau$

3. $let\ u_1,u_2,...,u_n\in\tau$

$u_1=(-\infty,a_1),u_2=(-\infty,a_2),...,u_n=(-\infty,a_n),m=min\left \{ a_i:1\leq i\leq n \right \}$

$\cap_{i=1}^nu_i=(-\infty,m)\in \tau$

$In \ sum,\tau \ is \ a \ topo \ in \ R$

例2

R上规定例1中的拓扑，子集 $A=\left \{ 0 \right \}$ , 求 $\bar{A}$

设A是X的子集， $x \in X$

内点、邻域： $\exists open\ set\ U \subseteq A,x \in U\subseteq A$ ，则x是A的一个内点，A是x的一个领域

聚点：x的每个邻域都含有 $A\setminus \left \{ x \right \}$ 中的点，则称x为A的聚点

$(\forall \ u \in \mathcal N _x,u\cap(A\setminus \left \{ x \right \})\neq \varnothing)$

(聚点定义中的邻域可以改为开邻域，依据邻域的定义显然）

导集：A的所有聚点的集合，记A′

闭包： $\bar A= A\cup A'$

$Solution:$

$\bar A=[0,\infty)$

$\forall x\in(-\infty,0),\exists open\ set\ (-\infty,x)\cap (\left \{ 0 \right \}\setminus \left \{ x \right \})=\varnothing$

$\forall x \in (0,\infty),\forall u \in \mathcal N_x,u=(-\infty,b),b>x>0,u\cap \left \{ 0 \right \}=\left \{ 0 \right \},$

$\ x\in A'$

$then,\bar A=[0,\infty)$

例3

度量空间中，记 $B[x_0,\varepsilon]=\left \{ x\in X:d(x,x_0)\leq \varepsilon\right \}$ ，证明 $B[x_0,\varepsilon]$ 是闭集。举例说明 ${B[x_0,\varepsilon]}\bar\ =B(x_0,\varepsilon)$ 不一定成立。

$B(x_0,\varepsilon)=\left \{ x\in X:d(x,x_0)< \varepsilon\right \}$

Proof:

$proof \ of\ (B[x_0,\varepsilon])^c \ is \ open \ as\ follow:$

$\left (B[x_0,\varepsilon] \right )^c=\left \{ x\in X:d(x,x_0)> \varepsilon\right \}$

$\forall x \in \left (B[x_0,\varepsilon] \right )^c,x\in B(x,d(x,x_0)-\varepsilon)\subseteq \left (B[x_0,\varepsilon] \right )^c$

$B(x,d(x,x_0)-\varepsilon) \ is\ open$

$so\ \forall x \in \left (B[x_0,\varepsilon] \right )^c,x\in \left (B[x_0,\varepsilon] \right )^{co}$

$therefore, (B[x_0,\varepsilon])^c \ is \ open$

$example :$

$consider \ Z \ as \ subspace\ of \ E^1$

$then,B(0,1)^-=B(0,1)=\left \{ 0 \right \},but\ B[0,1]=\left \{ -1,0,1 \right \}$

例4

设Y是拓扑空间X的子空间， $A\subseteq Y,x\in Y$ ，证明：在X中，x是A的聚点 $\Leftrightarrow$ 在Y中，x是A的聚点

Proof:

$1. \Rightarrow$

$In\ X,x\in A^o\Leftrightarrow \forall \ neighboorhood\ u\ of\ x,u\subseteq X,u\cap (A\setminus \left \{ x \right \}) \neq \varnothing$

$let \ u_Y=u\cap Y,x\in Y,so\ x\in u$

$A\subseteq Y\Rightarrow u_Y\cap(A\setminus \left \{ x \right \})\neq \varnothing$

$\Rightarrow In\ Y,x\in A^o$

$2.\Leftarrow$

$In\ Y,x\in A^o\Leftrightarrow \forall \ neighboorhood\ v\ of\ x,v\subseteq Y,v\cap (A\setminus \left \{ x \right \}) \neq \varnothing$

$v\subseteq Y,Y\subseteq X\Rightarrow v\subseteq X$

$\Rightarrow In\ X,x\in A^o$

$therefore,In\ X,x\in A^o\Leftrightarrow In\ Y,x\in A^o$

例5

若拓扑空间X的子集A与B互为余集，则 $A^-$ 与 $B^o$ 互为余集

Proof:

$\forall x \in A^{-c}\Leftrightarrow \exists neighborhood\ u\ of\ x,u\cap A^-=\varnothing\\\Leftrightarrow \exists open\ neighborhood\ v\ of\ x,v\subseteq u\subseteq B\\\Leftrightarrow x\in B^o$