【高等数学】第三章 微分中值定理与导数的应用——第二节 洛必达法则

上一节：【高等数学】第三章 微分中值定理与导数的应用——第一节 微分中值定理
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1. 未定式

如果当 $x\to a$（或 $x\to \infty$ )时，两个函数 $f(x)$ 与 $F(x)$ 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限 $\underset{\begin{array}{c}x\to a\\ (x\to \infty )\end{array}}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}$ 可能存在、也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$.

2. 自变量趋于有限值时的$\frac{0}{0}$型未定式

• 自变量趋于有限值时的$\frac{0}{0}$型未定式
  (1) 当 $x\to a$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零；
  (2) 在点 $a$ 的某去心邻域内，$f^{\prime }(x)$ 及 $F^{\prime }(x)$ 都存在且 $F^{\prime }(x)\ne 0$；
  (3) $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 存在（或为无穷大），
  则
  $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$

  根据条件(1)，以及柯西中值定理的需要，可以定义$f(a)=F(a)=0$，而不影响$x\to a$的相关极限过程，由此结合条件(2)，根据柯西中值定理：
  $\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}(\xi 在x与a之间)$
  取$x\to a,\xi \to a$，结合条件(3)即可完成证明
  对于条件(3)中无穷大的情形，有
  $0<|\xi -a|<|x-a|<\delta ,|\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}|>K⟹|\frac{f(x)}{F(x)}|>K$
  如果条件(3)中的极限是发散的，$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}$有可能发散，也有可能收敛，比如$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}$收敛。

• 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达（L’Hospital）法则.
• 如果$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$依然是$\frac{0}{0}$型未定式，但是满足洛必达法则的条件，可以继续使用洛必达法则

3. 自变量趋于无穷大时的$\frac{0}{0}$型未定式

(1) 当 $x\to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零；
(2) 当 $|x|>N$ 时 $f^{\prime }(x)$ 与 $F^{\prime }(x)$ 都存在，且 $F^{\prime }(x)\ne 0$；
(3) $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 存在（或为无穷大），
则
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$$

4. 其他类型的未定式

• 其他类型的未定式可以转换为上述2种$\frac{0}{0}$型未定式处理，或者参照上述2种$\frac{0}{0}$型未定式的洛必达法则的证法得出本未定式的洛必达法则
• 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷.

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