【笔记分享】集合的基数、群、环、域
Content
- §1 集合的基数
- 一、集合的基数概念
- 二、映射(Mapping)与基数关系
- 三、常见集合的基数及证明
- 1.有限集合的基数
- 2.自然数集N的基数
- 3.整数集Z的基数
- 4.有理数集Q的基数
- 5.实数集R的基数
- 6.幂集的基数
- 四、基数运算
- §2 群、环、域
- 一、群的定义与性质
- 二、环的定义与性质
- 三、域的定义与性质
- 四、直积与直和
§1 集合的基数
一、集合的基数概念
集合的基数(Cardinality)表示集合中元素的数量。对于有限集合,基数就是集合元素的个数。对于无限集合,基数用来比较不同无限集合的“大小”。基数用符号∣A∣|A|∣A∣表示集合A的基数。
两个集合A和B的基数相同,当且仅当存在一个双射(bijection)f: A → B,即A和B之间存在一一对应关系。
二、映射(Mapping)与基数关系
映射在基数理论中扮演重要角色,尤其是双射、单射和满射:
- 单射(Injection):如果存在单射f: A → B,则|A| ≤ |B|。
- 满射(Surjection):如果存在满射f: A → B,则|A| ≥ |B|。
- 双射(Bijection):如果存在双射f: A → B,则|A| = |B|。
小比喻.mp4:单射好比每个x只有一个老婆,换了x就换了y,每个y也只有一个老公,找不到宁可单着;满射好比定义f(x)=y,每个y都有x对应,没有找不到x的y,至于y找到了几个对象(原象),反正全都找到了。这叫满射;双射就是每个y都找到了x,而且是只有一个x与之对应,一切刚刚好。
通过构造特定映射,可以证明集合基数之间的关系。
三、常见集合的基数及证明
1.有限集合的基数
有限集合的基数直接等于其元素数量。例如,集合A = {1, 2, 3}的基数|A| = 3。
2.自然数集N的基数
自然数集N = {1, 2, 3, …}的基数为ℵ₀(阿列夫零),是最小的无限基数。
证明N与偶数集基数相同:
构造双射f: N → O,其中O为偶数集,定义为f(n) = 2n。由于f是双射,|N| = |O|。
3.整数集Z的基数
整数集Z的基数也是ℵ₀。
证明Z与N基数相同:
构造双射f: N → Z:
f(n) = n/2(若n为偶数);
f(n) = -(n-1)/2(若n为奇数)。
此映射将自然数与整数一一对应。
4.有理数集Q的基数
有理数集Q的基数也是ℵ₀。
证明Q可数:
可以将有理数排列为二维表格(分子/分母),通过对角线法枚举所有有理数,构造与N的双射。
具体形式:Q={x:x=p/q} ,q∈Z, p∈Z+
5.实数集R的基数
实数集R的基数为𝔠(连续统基数),严格大于ℵ₀。
证明R不可数(康托尔对角线法):
假设(0,1)区间实数可列,列举为r₁, r₂, r₃, …。
构造新实数d,其第i位与rᵢ的第i位不同。d不在列表中,矛盾。
6.幂集的基数
对于任何集合A,其幂集P(A)的基数为2∣A∣2^{|A|}2∣A∣。
证明|P(A)| > |A|(康托尔定理):
假设存在双射f: A → P(A)。定义B = {x ∈ A | x ∉ f(x)}。B ∈ P(A),但不存在a ∈ A使得f(a) = B,矛盾。
四、基数运算
基数运算遵循以下规则:
- |A × B| = |A| · |B|
- |A ∪ B| = |A| + |B|(若A ∩ B = ∅)
- ∣AB∣=∣A∣∣B∣|A^B| = |A|^{|B|}∣AB∣=∣A∣∣B∣(ABA^BAB表示B到A的函数集)
对于无限基数:
- ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀
- ℵ₀ · ℵ₀ = ℵ₀
- 2^ℵ₀ = 𝔠
§2 群、环、域
一、群的定义与性质
群是一个集合 ( G ) 配备一个二元运算 ( ⋅\cdot⋅ ),满足以下四条公理:
- 封闭性:对任意 a, b ∈\in∈ G ,有 a ⋅\cdot⋅ b ∈\in∈ G。
- 结合律:对任意 a, b, c ∈\in∈ G ,有 (a ⋅\cdot⋅ b) ⋅\cdot⋅ c = a ⋅\cdot⋅ (b ⋅\cdot⋅ c) 。
- 单位元:存在 e ∈\in∈ G ,使得对任意 a ∈\in∈ G ,有 e ⋅\cdot⋅ a = a ⋅\cdot⋅ e = a 。
- 逆元:对任意 a ∈\in∈ G ,存在 a−1∈Ga^{-1} \in Ga−1∈G,使得 a⋅a−1=a−1⋅a=ea \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = ea⋅a−1=a−1⋅a=e 。
常见群运算:
- 加法群(如整数集 ( Z\mathbb{Z}Z) 配加法)。
- 乘法群(如非零实数集 ( R∗\mathbb{R}^*R∗ ) 配乘法)。
- 置换群(对称群 ( SnS_nSn ))。
二、环的定义与性质
环是一个集合 ( R ) 配备两个二元运算 ( + )(加法)和 ( ⋅\cdot⋅ )(乘法),满足:
- (R, +) 是阿贝尔群(加法可交换)。
- (R, ⋅\cdot⋅) 是半群(乘法封闭且结合)。
- 分配律:对任意 a, b, c ∈\in∈ R ,有 a ⋅\cdot⋅ (b + c) = a ⋅\cdot⋅ b + a ⋅\cdot⋅ c 和 (a + b) ⋅\cdot⋅ c = a ⋅\cdot⋅ c + b ⋅\cdot⋅ c 。
常见环运算:
- 整数环 ( Z\mathbb{Z}Z ) 配标准加法和乘法。
- 多项式环 ( R[x]R[x]R[x] )。
- 矩阵环 (Mn(R)M_n(R)Mn(R) )。
三、域的定义与性质
域是一个交换环 ( F ) 配备加法 ( + ) 和乘法 ( ⋅\cdot⋅ ),且满足:
- (F, +) 是阿贝尔群。
- (F∖{0}F \setminus \{0\}F∖{0}, ⋅\cdot⋅) 是阿贝尔群(乘法可交换且非零元有逆)。
- 分配律成立。
常见域运算:
- 有理数域 ( Q\mathbb{Q}Q )。
- 实数域 (R\mathbb{R}R ) 和复数域 ( C\mathbb{C}C)。
- 有限域 ( Fp\mathbb{F}_pFp )(p 为素数)。
四、直积与直和
直积(Direct Product):
对群 ( G1G_1G1, G2G_2G2 ),其直积 ( G1×G2G_1 \times G_2G1×G2 ) 定义为笛卡尔积配备逐点运算:
(g1,g2)⋅(h1,h2)=(g1⋅h1,g2⋅h2).(g_1, g_2) \cdot (h_1, h_2) = (g_1 \cdot h_1, g_2 \cdot h_2).(g1,g2)⋅(h1,h2)=(g1⋅h1,g2⋅h2).
适用于无限或有限多个群的构造。
直和(Direct Sum):
对阿贝尔群(或模),直和 ( ⨁i∈IGi\bigoplus_{i \in I} G_i⨁i∈IGi) 定义为直积的子集,其中仅有限个分量非单位元。直和在无限情况下与直积不同,但有限时两者等价。
关键区别:
- 直积允许无限个非单位元分量,直和仅允许有限个。
- 在非阿贝尔群中通常只讨论直积。