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深入浅出二分法：从实际问题看“最小化最大值”问题的求解之道

news 2025/7/10 16:12:19

在算法学习中，二分法是一种高效且应用广泛的查找策略。它不仅能用于有序数组的元素查找，更在“最小化最大值”“最大化最小值”等优化问题中发挥着关键作用。本文将结合两道典型例题，从问题分析、思路推导到代码实现，带你深入理解二分法在这类问题中的应用，并总结常见错误与避坑指南。

一、二分法的核心思想：利用单调性高效收缩范围

二分法的本质是通过不断将搜索范围减半，快速定位目标值。在“最小化最大值”问题中，其核心逻辑依赖于答案的单调性：若某个值 x 满足条件，则所有大于 x 的值也一定满足条件；若 x 不满足条件，则所有小于 x 的值也一定不满足条件。

基于这个特性，我们可以通过以下步骤求解：

确定上下界：根据问题场景设置可能的最小值（下界 left）和最大值（上界 right）。
设计验证函数：判断某个中间值 mid 是否满足条件（即能否通过有限操作实现目标）。
收缩范围：若 mid 满足条件，尝试更小的范围（收缩右边界）；若不满足，尝试更大的范围（收缩左边界），直至找到最小的满足条件的值。

二、例题实战：从问题到解决方案

例题1：修理汽车的最少时间

问题描述

给你一个整数数组 ranks 表示机械工的能力值，能力值为 r 的机械工修理 n 辆车需要 r * n² 分钟。同时给你一个整数 cars 表示需要修理的汽车总数，所有机械工可以同时工作。返回修理所有汽车最少需要的时间。

问题分析

目标：找到最小的时间 t，使得所有机械工在 t 分钟内可修理的汽车总数 ≥ cars。
单调性：若时间 t 足够，则所有大于 t 的时间也一定足够。
验证逻辑：对某个时间 t，计算每个机械工在 t 分钟内最多可修理的汽车数（n = sqrt(t / r)），累加后判断是否 ≥ cars。

错误代码示例（常见误区）

// 错误示例：错误的验证逻辑
func repairCarsWrong(ranks []int, cars int) int {minR := ranks[0]for _, r := range ranks {if r < minR {minR = r}}left, right := 0, minR*cars*carsfor left < right {mid := (left + right) / 2// 错误：简单用机械工数量+操作数乘以mid判断，未考虑实际修理规则if (len(ranks) * mid) >= cars { right = mid} else {left = mid + 1}}return left
}

正确代码实现

import "math"func repairCars(ranks []int, cars int) int {// 确定上下界：下界1，上界为能力最强的机械工单独修完所有车的时间minR := ranks[0]for _, r := range ranks {if r < minR {minR = r}}left, right := 1, minR*cars*carsfor left < right {mid := left + (right-left)/2if canRepair(ranks, cars, mid) {right = mid // 可行，尝试更小时间} else {left = mid + 1 // 不可行，尝试更大时间}}return left
}// 验证函数：判断t分钟内能否修完cars辆车
func canRepair(ranks []int, cars, t int) bool {total := 0for _, r := range ranks {// 每个机械工最多修n辆：r*n² ≤ t → n ≤ sqrt(t/r)n := int(math.Sqrt(float64(t / r)))total += nif total >= cars {return true}}return false
}

例题2：分割数组的最小最大值

问题描述

给你一个整数数组 nums 和一个整数 maxOperations。每一次操作可以将一个袋子中的球分到两个新的袋子中（即一次操作可将一个数 x 拆分为 a 和 b，其中 a + b = x）。返回拆分后所有袋子中球的最大数量的最小值。

问题分析

目标：找到最小的最大值 x，使得通过 ≤ maxOperations 次操作，可将所有袋子的球数降至 ≤ x。
单调性：若 x 可行，则所有大于 x 的值也可行。
验证逻辑：对某个 x，计算每个数 num 拆分为 ≤ x 所需的操作数（(num-1)/x），累加后判断是否 ≤ maxOperations。

错误代码示例（常见误区）

// 错误示例：错误的验证条件
func minimumSizeWrong(nums []int, maxOperations int) int {maxNum := 0sum := 0for _, num := range nums {if num > maxNum {maxNum = num}sum += num}left, right := 1, maxNumfor left < right {mid := left + (right-left)/2// 错误：用总数量和机械工数量简单相乘判断，未计算实际操作次数if (len(nums)+maxOperations)*mid >= sum {right = mid} else {left = mid + 1}}return left
}

正确代码实现

func minimumSize(nums []int, maxOperations int) int {// 确定上下界：下界1，上界为初始最大值maxNum := 0for _, num := range nums {if num > maxNum {maxNum = num}}left, right := 1, maxNumfor left < right {mid := left + (right-left)/2if canSplit(nums, mid, maxOperations) {right = mid // 可行，尝试更小最大值} else {left = mid + 1 // 不可行，尝试更大最大值}}return left
}// 验证函数：判断能否通过≤maxOps次操作使所有数≤maxSize
func canSplit(nums []int, maxSize, maxOps int) int {ops := 0for _, num := range nums {if num > maxSize {// 计算拆分次数：num拆分为k个≤maxSize的数，需要k-1次操作// k = ceil(num/maxSize) → 操作数 = k-1 = (num-1)/maxSizeops += (num - 1) / maxSizeif ops > maxOps {return false}}}return true
}