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数据结构

相关概念

1. 【数据】 客观事物的符号表示， 可以将计算机中存储的一切都看成是数据。
2. 【数据元素】 数据的基本单位， 在计算机中通常作为一个整体进行考虑， 这个概念 根据具体的问题要具体界定， 概念外延可大可小。
3. 【数据项】 是数据不可分割的最小单位。 一个数据元素可由若干个数据项组成。
4. 【数据对象】 性质相同的数据元素的集合。
5. 【逻辑结构】 数据元素之间的逻辑关系。 这个关系与计算机无关， 仅限于人的思维层面。
6. 【存储结构】 逻辑结构在计算机中的表示， 也称物理结构。
7. 【数据结构】 数据结构是逻辑结构和物理结构的统称。 有时数据结构可以看成是逻 辑结构的称谓

逻辑结构

数据的逻辑结构是指数据元素之间的逻辑关系。 这与计算机无关， 仅限于人的思维层面。

★ 数据的逻辑结构分为线性和非线性

【线性】 线性表、 栈、 队列、 串、 数组、 广义表
【非线性】 集合、 树、 图

★ 数据元素之间的关系

【线性结构】 数据元素之间只存在一对一的关系， 除第一个元素外，所有元 素都有唯一前驱； 除最后一个元素外， 所有元素都有唯一后继。
【树形结构】 数据元素之间存在一对多的关系。
【图状结构或网状结构】 数据元素之间存在多对多的关系。

物理结构

数据的存储结构是用计算机语言实现的逻辑结构
数据的存储结构主要有： 顺序存储、 链式存储、 索引存储和散列存储

★ 顺序存储

把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元内 元素之间的元素关系由存储单元的邻接关系来体系。
【优点】 可以实现随机存取， 每个元素占用最少的存储空间。
【缺点】 只能使用相邻的一整块存储单元， 因此可能产生较多的外部碎片。

★ 链式存储

不要求把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元内 借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。
【优点】 不会出现碎片现象， 充分利用所有存储单元
【缺点】 每个元素因存储指针而占用额外的存储空间， 并且只能实现顺序存取

★ 索引存储

在存储元素信息的同时， 建立附加索引表 索引表中的每一项称为索引项， 索引项的一般形式是（关键字， 地址）
【优点】 检索速度快
【缺点】 索引表占用额外存储空间， 增删数据时也需要花费时间更改索引表

★ 散列存储

根据元素关键字直接计算出该元素存储地址， 又称为： 哈希（Hash） 存
储。
【优点】 检索、 增加、 删减结点操作很快
【缺点】 如果散列函数不好可能出现元素存储单元的冲突， 而解决冲突会增加时间和空间开销。

★ 数据的运算

施加在数据上的运算包括运算的定义和实现。
运算的定义是针对逻辑结构的， 指出运算的功能。
运算的实现是针对存储结构的， 指出运算的具体操作步。
数据结构包含逻辑结构， 存储结构和数据的运算； 而只需要抽象数据类型(ADT)即可定义一个完整的数据结构。

算法

定义

1. 【数据结构】
   a) 就是研究数据的存储方式
   b) 把现实中大量而复杂的问题以特定的数据类型（单个数据存储）和特定的 存储结构（个体的关系） 保存到内存中
2. 【算法】
   a) 在此基础上为实现某个功能（查找， 删除， 排序等） 而进行的操作
   数据结构用于解决存储数据， 算法对存储数据的操作。

五大特征

1. 有穷性： 必须执行有限步后结束
2. 确定性： 每一步必须有确切定义
3. 可行性： 任何步骤都可被分解为基本的可执行操作， 每个操作都能在有限时间内完成
4. 输入： 算法必须有零个或多个输入
5. 输出： 算法必须有一个或多个输出

四大目标

正确性：算法可以正确的解决问题
可读性：算法程序应易读，好理解
健壮性：可以应对非法数据，处理好边界条件
效率与低存储量需求：优秀的时间复杂度和空间复杂度

算法的度量

★ 空间复杂度

定义： 算法的空间复杂度即该算法所耗费的存储空间
原地工作： 我们在算法中需要一个数组来传存放输入的 n 个数据， 另外还需要一些与 n 无关 的常量的空间来存放算法需要的其他数据， 那么该算法的空间复杂度为 O(n)。 如果算法需要所耗费的存储空间并不随输入数据的变化而变化， 那么该算法的空间 复杂度为 O(1)。 我们称之为算法原地工作

★ 时间复杂度

定义 ： 以算法中基本操作重复执行的次数（简称为频度） 作为算法的时间度量。 一般不必要精确计算出算法的时间复杂度， 只要大致计算出相应的数量级即可， 如 O(1)、 O(n)等

计算过程

1. 确定规模 n： 通常在形参中会给出问题规模 n
2. 计算频度 T(n)： 通常以算法中的基本运算（若有循环， 循环中最深层的语句为 基本运算） 为核心， 求出其执行的次数
3. 用大 O 表示： 只保留 T(n)的最高阶项， 如果这个最高阶项的序数不为 1， 忽略这个序数
   

O(log(n!)) = O(nlogn)

求时间复杂度题型技巧归纳：

对于多层循环的题目

1. 如果最外层是非线性变化， 例如指数变化， 那么只能采用定义法求时间复杂度；
2. 如果最外层是线性变化， 那么定义法和简便法都可以求时间复杂度；

求时间复杂度时， 需要关注的地方：

1. 循环的特点， 是线性变化还是非线性变化；
2. 循环退出的条件；
3. 循环体内执行的语句；

例题

1

1. 找出基本操作，确定规模 n
   i. 找出基本操作。 多数情况下取最深层循环内的语句所描述的操作作为基本操作。 显然题目中++j； 语句 i+=2； 语句都可以作为基本操作
   ii. 确定规模。 由循环条件 i 可以知道， 循环次数和参数 n 有关， 即规模为 n.
2. 计算出 n 的函数 f(n)
   问题规模 n 确定以后， 循环结束与否与 i 有关。 i 的初值为 1， 每次自增 2 假设 i 自增 k 次后循环结束， 则 i 最后的值为 1 + 2 * k += n 解得
   k=(n-1)/2， 即 f(n)=(n-1)/2， 最高次项为 n/2， 时间复杂度为 O(n).

2

1. 找出基本操作，确定规模 n
   i. 找出基本操作。 显然题目中++i； 语句 s=s+i； 语句都可以作为基本操作
   ii. 确定规模。 由循环条件 s < n 可以知道， 循环次数和参数 n 有关，即规模为 n.
2. 计算出 n 的函数 f(n) i 和 s 的初值都为 0， 假设循环执行 m 次结束， 则
   $$s_1=1,s_2=1+2=3,s_3=1+2+3=6,\dots ,s_m=\frac{m(m+1)}{2}$$
   最后的值为 m(m+1)/2=n， 由求根公式得： 解 m=-1+√8n+1， 即 f(n)=-1-√ 8n+1，时间复杂度为 T(n) = O($n^{1/2}$)